[論文レビュー] $C^{\sigma+\alpha}$ regularity for concave nonlocal fully nonlinear elliptic equations with rough kernels

Joaquim Serra|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$L^0(\sigma)$ 現象に属する滑らかでない核を持つ、$\sigma \in (0,2)$ 階数の凹型非局所的完全非線形楕円型方程式について、$C^{\sigma+\alpha}$ 内部正則性推定を確立する。リウヴィルの定理とブルームアップ（コンパクト性）手続きを用いて、外部データが $C^\alpha$ であるとき、単位球内部で解が $C^{\sigma+\alpha}$ であることを証明し、非局所正則性理論における2つの未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We establish $C^{\sigma+\alpha}$ interior estimates for concave nonlocal fully nonlinear equations of order $\sigma\in(0,2)$ with rough kernels. Namely, we prove that if $u\in C^{\alpha}(\mathbb R^n)$ solves in $B_1$ a concave translation invariant equation with kernels in $\mathcal L_0(\sigma)$, then $u$ belongs to $C^{\sigma+\alpha}(\overline{ B_{1/2}})$, with an estimate. More generally, our results allow the equation to depend on $x$ in a $C^\alpha$ fashion. Our method of proof combines a Liouville theorem and a blow-up (compactness) procedure. Due to its flexibility, the same method can be useful in different regularity proofs for nonlocal equations.

研究の動機と目的

• 滑らかでない核が $L^0(\sigma)$ 現象に属する凹型非局所的完全非線形方程式について、$C^{\sigma+\alpha}$ 正則性が成り立つかどうかという未解決問題を解決すること。
• 外部変数 $x$ に対して $C^\alpha$ 依存性を示す非平行移動不変方程式について、Schauder型 $C^{\sigma+\alpha}$ 推定を確立すること。
• 核が滑らかでない場合、$C^{\sigma+\alpha}$ 内部正則性を保証するために $C^\alpha$ 外部データが必要であることを示すこと。有界な外部データでは十分でない。
• さまざまな非局所正則性問題に適用可能な、ブルームアップとリウヴィルの議論に基づく強固な手法を開発すること。
• 核が滑らかでない場合、高周波数の振動を示す外部データにより、解が $C^{\sigma+\alpha}$ 正則性を失う可能性があることを示すこと。

提案手法

• ブルームアップ（コンパクト性）手続きとリウヴィル型定理を組み合わせて正則性推定を証明する。
• 滑らかさの仮定なしに、点ごとの有界性 $\lambda |y|^{-n-\sigma} \leq K(y) \leq \Lambda |y|^{-n-\sigma}$ のみを満たす滑らかでない核による極値作用素 $M^-_{L^0}$ を定義する。
• 背理法を用いる：数列 $u_m$ に対して $\|u_m\|_{C^{\sigma+\alpha}} \to \infty$ と仮定し、増分商の積分推定を用いて矛盾を導く。
• 振動する外部データ下での2階増分差分 $\delta^2 u(x,y) = \frac{1}{2}(u(x+y)+u(x-y)-2u(x))$ の挙動を分析する。
• $\text{sign} \, \sin(m\pi x)$ のような急激に振動する外部データを用いた明示的反例を構築し、$C^\alpha$ 外部正則性が最良であることを示す。
• 境界付近での解の成長を制御するため、バリア関数と摂動的推定を用い、外部データの $C^\alpha$ 正則性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない核が $L^0(\sigma)$ 現象に属する凹型非局所方程式について、$C^{\sigma+\alpha}$ 正則性が成り立つかどうか。特に、$L^2(\sigma)$ 現象で要求される $C^2$ 滑らかさ条件が不要である場合に成り立つか。
• RQ2 外部変数 $x$ に対して $C^\alpha$ 依存性を示す非平行移動不変非局所方程式について、Schauder型 $C^{\sigma+\alpha}$ 推定を確立できるか。
• RQ3 核が滑らかでない場合、$C^{\sigma+\alpha}$ 内部正則性を保証するために、外部データの $C^\alpha$ 正則性が必要かどうか。
• RQ4 ブルームアップとリウヴィルの定理に基づく手法を、凹型に限らない非局所方程式の正則性証明に一般化できるか。
• RQ5 滑らかでない核を持つ非局所作用素は、外部データの高周波数振動に対してどれほど敏感か。また、その感度が $C^{\sigma+\alpha}$ 正則性を破壊する可能性があるか。

主な発見

• 外部データが $C^\alpha(R^n \setminus B_1)$ に属する場合、$L^0(\sigma)$ 現象に属する滑らかでない核を持つ凹型非局所方程式の解は、$B_{1/2}$ 内部で $C^{\sigma+\alpha}$ である。定量的推定が得られる。
• $C^\alpha$ 外部データ仮定は最良である。有界な $L^\infty$ 外部データを持つ解の列に対して、$C^{\sigma+\alpha}$ 半ノルムが発散する例が存在し、$C^\alpha$ が必要であることを示す。
• リウヴィル定理とブルームアップ解析に基づく証明手法は柔軟であり、他の非局所正則性問題へも応用可能である。
• $L^\alpha$ 現象（スケーリング不変 $C^\alpha$ 核）では、外部データが有界である場合でも $C^{\sigma+\alpha}$ 正則性が成り立つ。
• 振動する外部データ $\text{sign} \, \sin(m\pi x)$ を用いた明示的反例を構築し、$C^\alpha$ 外部正則性がなければ $C^{\sigma+\alpha}$ 正則性が成立しないことを示す。
• 主な矛盾は、2つの近接する点における $\delta^2 u$ の積分と核重みの差を比較することで生じる。外部データの振動性が、差に消えない下界を強制し、仮定された Hölder 連続性に矛盾する。