[論文レビュー] Calabi--Yau complete intersections in exceptional Grassmannians

Atsushi Ito, Makoto Miura+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、例外的グラスマンニアンにおける完全交差として現れるカラビ＝ヤウ 3-fold を、全般に生成され、完全に可約な等変ベクトルバンドルを用いて分類する。表現論、スペクトル系列、チャーン類の計算を用いて、すべての such カラビ＝ヤウ 3-fold を特定し、ホッジ数と位相的不変量を計算する。主な結果は、$G_2$、$F_4$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型の例外的フラッグ多様体における完全なリストを表1.1に示している。分類はランクおよび第一チャーン類の条件に依拠しており、ホッジ数はスペクトル系列およびヒルツェブルク–リーマン–ロッホの定理を用いて計算される。

ABSTRACT

We classify completely reducible equivariant vector bundles on Grassmannians of exceptional Lie groups which give Calabi--Yau 3-folds as complete intersections. In particular, we find a new family of Calabi--Yau 3-folds in an $E_6$-Grassmannian.

研究の動機と目的

• 例外的グラスマンニアン上での全般に生成され、完全に可約な等変ベクトルバンドルから生じる完全交差としてのカリフォルニア・ヤウ 3-fold をすべて分類すること。
• これらのバンドルの中で、射影空間上のラインバンドルの完全交差でないカリフォルニア・ヤウ 3-fold を特定すること。
• すべての such カリフォルニア・ヤウ 3-fold について、ホッジ数 $h^{1,1}$、$h^{1,2}$、次数、第二チャーン類 $c_2$ を計算すること。
• すべての例外的フラッグ多様体 $G_2$、$F_4$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型において、これらのカリフォルニア・ヤウ 3-fold を完全にリストアップすること。

提案手法

• 最大パラボリック部分群 $P$ に対する $G/P$ 上の完全に可約な等変ベクトルバンドルを分類するために、例外的リー群の表現論を用いる。
• スペクトル系列 (2.26, 3.6, 3.8) を用いてホッジ数 $h^{1,1}$ および $h^{1,2}$ を計算し、$h^{0,1} = h^{0,2} = 0$ を確認する。
• 完全交差 $X$ 上のラインバンドル $\mathcal{O}_X(i)$ のコホモロジーを計算するために、コシュール分解 (3.7) を用いる。
• ヒルツェブルク–リーマン–ロッホの定理 (4.12) を用いて、オイラー標跡と次数および第二チャーン類の関係を確立する：$\chi(\mathcal{O}_X(i)) = \frac{1}{6}\deg X \cdot i^3 + \frac{1}{12}c_2(X) \cdot i$。
• 1つの場合において、第二チャーン類 $c_2(X)$ を計算するために、チャーン–ガウス–ボンネの定理 (3.10) を適用する。
• ランク条件 $\operatorname{rank}\mathcal{E} = \dim G/P - 3$ および $c_1(\mathcal{E}) = c_1(G/P)$ を用いて、439 個の例外的フラッグ多様体のほとんどを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの全般に生成され、完全に可約な等変ベクトルバンドルが、例外的グラスマンニアン上でカリフォルニア・ヤウ 3-fold を完全交差として与えるか？
• RQ2 これらのカリフォルニア・ヤウ 3-fold のうち、どのものが射影空間上のラインバンドルの完全交差でないか？
• RQ3 すべての such カリフォルニア・ヤウ 3-fold について、ホッジ数 $h^{1,1}$ および $h^{1,2}$ は何か？
• RQ4 これらのカリフォルニア・ヤウ 3-fold の次数および第二チャーン類 $c_2$ は何か？
• RQ5 すべての例外的フラッグ多様体において、このようなカリフォルニア・ヤウ 3-fold を体系的に分類する方法は何か？

主な発見

• この論文は、全般に生成され、完全に可約な等変ベクトルバンドルを介して例外的グラスマンニアンにおける完全交差として現れるカリフォルニア・ヤウ 3-fold を完全に分類しており、すべてのケースが表1.1にリストアップされている。
• $G_2$-グラスマンニアン $G/P_1$ において、可約バンドルから得られる唯一のカリフォルニア・ヤウ 3-fold は $\mathcal{E}_{(1,1)}$ であり、$h^{1,1} = 1$、$h^{1,2} = 50$、$\deg X = 42$、$c_2(X) = 84$ を満たす。
• 分類はランク条件 $\operatorname{rank}\mathcal{E} = \dim G/P - 3$ および第一チャーン類条件 $c_1(\mathcal{E}) = c_1(G/P)$ に依拠しており、439 個の例外的フラッグ多様体のほとんどを除外する。
• ホッジ数はスペクトル系列 (2.26, 3.6, 3.8) を用いて計算され、次数および $c_2$ の決定にはヒルツェブルク–リーマン–ロッホの定理 (4.12) が用いられる。
• 第二チャーン類 $c_2(X)$ は1つの場合において、チャーン–ガウス–ボンネの定理 (3.10) を用いて計算される。
• すべての計算は補足ファイルに体系的に記録されており、結果は Mathematica パッケージ [FKS20] を用いて検証されている。