[论文解读] Calabi-Yau structures on topological Fukaya categories

Vivek Shende, Alex Takeda|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 85被引用 16

一句话总结

本文通过在树状奇点上的可构造余层（constructible cosheaves）上建立局域到整体的形式化方法，为拓扑福比几何范畴上的卡拉比-丘结构提供了构造方法。通过引入从层化霍赫希尔德同调到拓扑对偶层的非退化态射，作者将经典方向的概念推广至高阶范畴与非光滑情形，定义了卡拉比-丘结构，并证明此类结构可通过协变 Verdier 对偶性从紧致余层提升至光滑余层，其应用涵盖微局部层理论与镜像对称。

ABSTRACT

We develop a local-to-global formalism for constructing Calabi-Yau structures for global sections of constructible sheaves or cosheaves of categories. The required data - an isomorphism of the sheafified Hochschild homology with the topological dualizing sheaf - specializes to the classical notion of orientation when applied to the category of local systems on a manifold. We apply this construction to the cosheaves on arboreal skeleta arising in the microlocal approach to the A-model.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于从微局部层理论中构造拓扑福比几何范畴上的卡拉比-丘结构。
• 通过层论形式化，将经典方向概念推广至高阶范畴与非光滑情形。
• 建立紧致余层上的方向与光滑、可构造余层范畴（ccc 空间）上的卡拉比-丘结构之间的对应关系。
• 在微局部层模空间（包括局部系统、正性流形与纽结不变量）上，统一构造移位辛结构与量子化结构。
• 通过赋予微局部范畴卡拉比-丘结构，弥合微局部层理论与同调镜像对称之间的鸿沟。

提出的方法

• 引入可构造余层范畴（ccc 空间）的概念，其中 dg 范畴的余层关于有限分层是可构造的。
• 通过从余层的层化霍赫希尔德同调到拓扑对偶层的非退化态射来定义卡拉比-丘结构。
• 利用协变 Verdier 对偶性，将紧致范畴层上的方向与光滑余层上的卡拉比-丘结构联系起来。
• 构造一个包含霍赫希尔德同调与对偶的交换正方形，表明紧致层上的方向可提升为对应光滑余层上的卡拉比-丘结构。
• 将该形式化应用于树状奇点与微局部层理论，证明方向的存在性等价于福比几何范畴中卡拉比-丘结构的存在性。
• 利用精确情形下微局部层与福比范畴之间的等价性，将卡拉比-丘结构从微局部侧传递至福比侧。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用局部数据系统性地构造拓扑福比几何范畴上的卡拉比-丘结构？
• RQ2 在可构造余层的 dg 范畴语境下，方向的范畴类比是什么？
• RQ3 协变 Verdier 对偶性如何将紧致层上的方向与光滑余层上的卡拉比-丘结构联系起来？
• RQ4 微局部层理论对福比范畴的描述能否通过局域到整体原则赋予卡拉比-丘结构？
• RQ5 树状奇点在微局部层理论中实现卡拉比-丘结构的过程中起到何种作用？

主要发现

• 从层化霍赫希尔德同调到拓扑对偶层的非退化态射在 ccc 空间上定义了卡拉比-丘结构。
• 该构造将经典流形上的方向概念推广至高阶范畴与非光滑情形。
• 在紧致 csc 空间 (X, F^pp) 上的 d 维方向，诱导出对应 ccc 空间 (X, F) 上的 d 维卡拉比-丘结构。
• 映射 D(Φ) 将紧致层上的方向映射为光滑余层上的卡拉比-丘结构，且非退化性在小开集上局部验证。
• 对任意足够小的开集 U，范畴 F(U) 是饱和的，确保对偶性在霍赫希尔德复形上诱导出等价关系，从而允许同构的提升。
• 该形式化适用于树状奇点上的微局部层，为模空间（如局部系统、正性流形与纽结接触同调不变量）提供统一的移位辛结构与量子化构造。