[論文レビュー] Calculating a backtracking algorithm: an exercise in monadic program derivation

Shin-Cheng Mu|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2021

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非決定性と局所的状態の相互作用に焦点を当て、モノイド的プログラム計算を用いてバックトラッキングアルゴリズムの形式的導出を提示する。非決定性と局所的状態を統合した、モノイド的アンフォールドとスキャンlに類似したフィルタリングを融合するハイロモーフィズムを導出することで、仕様から効率的なバックトラッキングプログラムに変換する数学的に厳密な等式的手法を提供する。n-クイーン問題に適用した結果、モノイド法則と構造的帰納法により正しさが保証される。

ABSTRACT

Equational reasoning is among the most important tools that functional programming provides us. Curiously, relatively less attention has been paid to reasoning about monadic programs. In this report we derive a backtracking algorithm for problem specifications that use a monadic unfold to generate possible solutions, which are filtered using a $\mathit{scanl}$-like predicate. We develop theorems that convert a variation of $\mathit{scanl}$ to a $\mathit{foldr}$ that uses the state monad, as well as theorems constructing hylomorphism. The algorithm is used to solve the $n$-queens puzzle, our running example. The aim is to develop theorems and patterns useful for the derivation of monadic programs, focusing on the intricate interaction between state and non-determinism.

研究の動機と目的

• 非決定性と状態を併用するモノイド的プログラムを、等式的推論によって導出する形式的で等式的な手法の開発。
• 特にバックトラッキングアルゴリズムを含む、効果が複雑に絡み合うプログラムの推論の課題に対処すること。
• 問題の仕様を効率的で正しい実装に変換するための再利用可能な定理とパターンの提供。
• n-クイーン問題を、バックトラッキングと状態制約を伴う標準的な例として、この手法を示すこと。

提案手法

• 等式的推論とモノイド法則を用いて、状態モナド上でのfoldrとしてスキャンlの変種を導出する。
• 状態の更新と非決定的選択を、状態付きの文脈で統合する新しいモノイド的演算子 ⊙ を導入する。
• 候補解の生成（モノイド的アンフォールドによる）とフィルタリング（状態付きのスキャンlに類似た述語による）を統合するハイロモーフィズムを構築する。
• 導出した定理を用いて、n-クイーン問題の仕様を効率的なバックトラッキングプログラムに変換する。
• 構造的帰納法とモノイド法則を用いて正しさを証明するが、局所的状態法則（右分配性と右零元）が成り立つものと仮定する。
• 最終的なアルゴリズムにおける正しい状態の初期化と伝搬を保証するため、protectコンビネータを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定性と状態を併用するモノイド的プログラムを、等式的推論によってどのように導出できるか。
• RQ2 スキャンlに類似したフィルタリング操作を、状態モナド上のfoldrに変換するための定理は何か。
• RQ3 非決定性と状態の相互作用を、数学的に取り扱いやすい方法で管理するにはどうすればよいか。
• RQ4 導出されたバックトラッキングアルゴリズムが正しくかつ効率的であるための条件は何か。
• RQ5 アンフォールドとフィルタリングのハイロモーフィズムに基づく統合は、他の制約充足問題へ一般化可能か。

主な発見

• 論文は、モノイド的プログラム導出を用いて、n-クイーン問題の正しくかつ効率的なバックトラッキングアルゴリズムを成功裏に導出した。
• 主たる貢献は、モノイド的アンフォールドと状態付きフィルタリングを統合するハイロモーフィズムであり、演算子 ⊙ と solve 関数を用いて表現されている。
• 導出は局所的状態法則（右分配性と右零元）に依存しており、これにより各非決定的分岐が独立した状態を持つことが保証され、推論が簡素化される。
• 問題関係のwell-founded性と状態と非決定性の可換性を仮定することで、アルゴリズムの正しさが形式的に証明されている。
• 最終的な実装である queens n は、solve null select ok (⊕) (0, [], []) [0..n-1] と等価であり、put と get を用いた明示的な状態管理が行われている。
• 必要な代数的法則が成り立つ限り、問題が unfoldM p f z >>= filter (all ok · scanl+ (⊕) st) として定義される他の問題に対しても、この手法は一般化可能である。