[論文レビュー] Calculation of Greeks for Jump-Diffusions

Barbara Forster, Eva Luetkebohmert+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Hörmander型の条件および接続作用素の可逆性に関する仮定の下で、ジャンプ・ドリフト過程におけるMalliavin重みの存在を確立する。主な貢献は、特徴的である仮定の下で共分散行列の可逆性を証明し、標準的なMalliavin微積分法の技術をギリシャ計算に適用可能にする点である。これは、分離可能性を仮定しない一般のジャンプ・ドリフトモデルへの拡張を可能にする。

ABSTRACT

Abstract. Calculation of Greeks by Malliavin weights has proved to be a numerically satisfactory procedure for usual Ito-diffusions. In this article we prove existence of Malliavin weights for jump diffusions under Hörmander conditions and hypotheses on the invertibility of the linkage operators. The main result – in the hypo-ellitpic case – is the invertibility of the covariance matrix, which enables – by usual methods – the construction of the relevant Malliavin weights. The message is that in fairly general jump-diffusion cases one should proceed such as in pure diffusion cases. In contrast to Davis et al. we do not need any separability assumptions. 1.

研究の動機と目的

• 純粋な拡散過程からのギリシャ計算におけるMalliavin微積分法の手法を、一般のジャンプ・ドリフトモデルへと拡張すること。
• 特にHörmander型の擬微分型の正則性の下で、ジャンプ・ドリフト過程におけるMalliavin重みの存在を保証する条件を確立すること。
• 前述の研究（例：Davisら）が課していた分離可能性の仮定を排除すること。
• 擬微分型の場合における共分散行列の可逆性を証明すること。これはMalliavin重みの構成にとって重要な段階である。
• 標準的なMalliavin技術によるギリシャ計算が、広範なジャンプ・ドリフト過程のクラスに適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 純粋な拡散過程からの枠組みを拡張することで、ジャンプ・ドリフト過程へのMalliavin微積分法の適用。
• 生成子の擬微分型性を保証するためのHörmander条件の使用。これはMalliavin重みの存在を支援する。
• 基礎となる確率過程の正則性を保証するため、接続作用素の可逆性を仮定する。
• 擬微分型条件の下で共分散行列の可逆性を証明し、重みの構成を可能にする。
• 拡散過程における標準的なMalliavin重みの構成技術を、ジャンプ・ドリフト設定へと適応すること。
• 関数解析的道具を用いて、ジャンプが存在する状況下でも重みの存在および正則性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ・ドリフト過程におけるMalliavin重みが存在する条件は何か？
• RQ2 分離可能性の仮定がないジャンプ・ドリフトモデルに対しても、標準的なMalliavin微積分法の枠組みをギリシャ計算に拡張できるか？
• RQ3 擬微分型の場合に、ジャンプ・ドリフト過程の共分散行列は可逆か？ これは重みの構成を可能にする。
• RQ4 Hörmander型の条件は、ジャンプ・ドリフトモデルにおける遷移密度の正則性および微分可能性にどのように影響するか？
• RQ5 前述の研究（例：Davisら）が課していた分離可能性の制限を回避するために必要な仮定は何か？

主な発見

• Hörmander条件および接続作用素の可逆性の下で、ジャンプ・ドリフト過程におけるMalliavin重みが存在する。
• 擬微分型の場合に共分散行列が可逆であることが証明され、これはMalliavin重みの構成にとって不可欠である。
• 本フレームワークにより、一般のジャンプ・ドリフトモデルにおいて標準的なMalliavin技術によるギリシャ計算が可能になる。
• 従来の手法とは異なり、ジャンプ成分と拡散成分の分離性を仮定する必要がない。
• 本研究の結果により、Malliavin微積分法の適用範囲が、より広範な金融的および確率的モデルへと拡張される。
• 理論的基盤は、ジャンプを含む複雑で現実的なモデルにおけるギリシャ計算の数値的計算を支援する。