[論文レビュー] Calculation of the Number of all Pairs of Disjoint S-permutation Matrices

Krasimir Yordzhev|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グラフ理論的手法を用いて、すべての順序付けられていない $9 \times 9$ S-置換行列の対の数を数える一般式を提示する。$n \times n$ 二部グラフを用いて問題をモデル化し、次数列と同型類を活用することで、このような互いに素な対は正確に 419,250,816 個存在し、9×9 の S-置換行列をランダムに選んだとき、それらが互いに素である確率は約 0.385 であることが導かれる。

ABSTRACT

The concept of S-permutation matrix is considered. A general formula for counting all disjoint pairs of $n^2 imes n^2$ S-permutation matrices as a function of the positive integer $n$ is formulated and proven in this paper. To do that, the graph theory techniques have been used. It has been shown that to count the number of disjoint pairs of $n^2 imes n^2$ S-permutation matrices, it is sufficient to obtain some numerical characteristics of all $n imes n$ bipartite graphs.

研究の動機と目的

• すべての順序付けられていない $n^2 \times n^2$ S-置換行列の対の数を数える一般式を導出すること。
• S-置換行列の互いに素性と $n \times n$ 二部グラフの構造的性質との間の関係を確立すること。
• $n=3$（つまり $9 \times 9$ 行列）のケース、Sudokuの列挙における重要な事例について、正確な互いに素な対の数を計算すること。
• 2つのランダムに選ばれた $9 \times 9$ S-置換行列が互いに素である確率を特定すること。

提案手法

• S-置換行列を、各行、各列、および各 $n \times n$ ブロックにちょうど1つの1をもつ $n^2 \times n^2$ 0-1行列としてモデル化する。
• 2つの S-置換行列の互いに素性を、$n \times n$ 二部グラフの隣接構造を介して表現する。
• 二部グラフの同型類を用いて同値な構成をグループ化し、それらの重みを計算する。
• 頂点の次数に基づいてグラフを分類する次数列ベクトル $\langle \psi_0, \psi_1, \dots, \psi_n \rangle$ を定義し、対称性を活用する。
• 包含・排除原理と、同型類ごとの符号付き数え上げを適用し、公式 $\xi_n = \sum_{g \in \mathcal{G}_{n,k}} |g| \cdot (-1)^{\psi_n(g)} \cdot 6^{\psi_1(g)} \cdot 2^{\psi_2(g)}$ を用いる。
• C++プログラムを実装し、$\xi_3$ を数値的に計算し、最終的な個数を $\eta_n = \frac{(n!)^{2n}}{2} \xi_n$ を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 9×9 の S-置換行列の順序付けられていない互いに素な対はいくつ存在するか？
• RQ2 2つのランダムに選ばれた 9×9 の S-置換行列が互いに素である確率は何か？
• RQ3 9×9 の S-置換行列の対の数は、$n \times n$ 二部グラフのグラフ理論的不変量を用いて計算可能か？
• RQ4 このような対の数を $n$ の関数として表す一般式は何か？

主な発見

• 9×9 の S-置換行列の順序付けられていない互いに素な対の総数は正確に 419,250,816 個である。
• 2つのランダムに選ばれた 9×9 の S-置換行列が互いに素である確率は約 0.385211 である。
• 3×3 二部グラフの同型類全体にわたる符号付き和を用いて計算された $\xi_3$ の値は 17,972 である。
• 公式 $\eta_n = \frac{(n!)^{2n}}{2} \xi_n$ は、任意の $n$ に対して順序付けられていない互いに素な対の総数を提供する。
• この手法により、S-置換行列の互いに素性の組み合わせ的複雑性が、符号付き重みをもつ二部グラフの同型類の列挙に簡略化された。
• C++ 実装により、$n=3$ における理論的導出の正しさが確認された。