[論文レビュー] Calculus of Variations on Time Scales and Discrete Fractional Calculus

Rui A. C. Ferreira|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2010

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、時刻スケール上での変分法の統一的枠組みを構築し、高階のデルタ微分問題および等周的制約を含む場合のオイラー＝ラグランジュおよびレジェンドルの必要最適性条件を導出する。さらに、新規の離散分数階微積分変分法を導入し、対応するオイラー＝ラグランジュおよびレジェンドル条件を確立する。ステップサイズがゼロに近づくにつれ、離散的極値解が連続的分数階解に収束することが観察された。

ABSTRACT

We study problems of the calculus of variations and optimal control within the framework of time scales. Specifically, we obtain Euler-Lagrange type equations for both Lagrangians depending on higher order delta derivatives and isoperimetric problems. We also develop some direct methods to solve certain classes of variational problems via dynamic inequalities. In the last chapter we introduce fractional difference operators and propose a new discrete-time fractional calculus of variations. Corresponding Euler-Lagrange and Legendre necessary optimality conditions are derived and some illustrative examples provided.

研究の動機と目的

• 一般の時刻スケールへの変分法の拡張を図り、デルタ微分の定式化により連続的および離散的設定を統一する。
• 高階のデルタ微分および等周的制約を含む変分問題に対する必要最適性条件を導出する。
• 動的積分不等式を用いた直接法を、時刻スケール上での特定のクラスの変分問題を解くために開発する。
• 分数階差分作用素を用いた新しい離散分数階微積分変分法の枠組みを導入する。
• 離散分数階変分問題におけるオイラー＝ラグランジュおよびレジェンドル型の必要条件を確立し、連続的分数階対応物への収束を分析する。

提案手法

• デルタ微分およびデルタ積分を用いて時刻スケール上での変分問題を定式化し、古典的な連続的および離散的微積分を一般化する。
• 時刻スケール上での変分解析を用いて、複数のデルタ微分に依存するラグランジアンに対する高階のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 動的積分不等式（例：グロワール型およびダイヤモンド-α不等式）を応用し、変分問題を解くための直接法を構築する。
• h-ナブラ法を用いて離散的分数階和分および差分作用素を導入し、離散的定義域上での左および右分数階微分を定義する。
• 変分問題の必要最適性条件を導出するための主要な道具として、分数階h-和分の部分積分公式を確立する。
• 導出された部分積分恒等式を用いて、離散分数階変分問題におけるオイラー＝ラグランジュおよびレジェンドル型の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階のデルタ微分を含む時刻スケール上での変分問題における必要最適性条件は何か？
• RQ2 動的微積分を用いて、時刻スケール上での等周的問題はどのように定式化され、解かれるか？
• RQ3 時刻スケール上での積分不等式を用いて、変分問題を解くための直接法を開発できるか？
• RQ4 一貫性のある離散分数階微積分変分法の構造は何か？ その必要最適性条件は何か？
• RQ5 ステップサイズhがゼロに近づくとき、離散分数階極値解はどのように振る舞い、連続的分数階解に収束するか？

主な発見

• 本稿では、高階のデルタ微分を含む時刻スケール上での変分問題に対して、一般化されたオイラー＝ラグランジュ方程式を導出しており、古典的結果を統一的時刻スケール設定に拡張している。
• 等周的制約を含む時刻スケール上での変分問題に対する必要最適性条件が確立され、スツルム＝リウヴィル固有値問題との関連も示された。
• 分数階h-差分作用素および対応するh-和分の部分積分公式を導入した、新規の離散分数階微積分変分法が提案された。
• 離散分数階変分問題におけるオイラー＝ラグランジュ方程式およびレジェンドルの必要条件が導出され、今後の分析の基盤が提供された。
• 数値的証拠により、h → 0 のとき、離散的h-分数階極値解が古典的連続的分数階オイラー＝ラグランジュ解に収束することが示され、離散的および連続的枠組みの整合性が裏付けられた。
• 導出された時刻スケール上での積分不等式は、変分問題に留まらず、ある種の積分力学方程式の解の存在を示すのに対しても有用であることが示された。