[論文レビュー] Calibrated Fibrations on Complete Manifolds via Torus Action

Edward Goldstein|ArXiv.org|Feb 14, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トーラス階数が $ n-1 $ で $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ である完全なカラビ・ヤウ多様体が、特殊ラグランジュ（SLag）部分多様体によるキャリブレートファイブレーションを有することを確立する。シンプレクティック減少が全ホロモーフィック体積形式を引き継ぐことを証明し、減少内のSLag部分多様体が元の多様体における $ T^k $-不変SLag部分多様体に引き上げられることを示す。主たる貢献は、ケーラー・アインシュタイン多様体の標準バンドルおよび $ G \subset SU(n) $ であるアーベル群による $ \mathbb{C}^n / G $ のクレパント解体について、非コンパクト版のSYZ予想の確認である。

ABSTRACT

In this paper we will investigate torus actions on complete manifolds with calibrations. For Calabi-Yau manifolds M^2n with a Hamiltonian structure-preserving k-torus action we show that any symplectic reduction has a natural holomorphic volume form. Moreover Special Lagrangian (SLag) submanifolds of the reduction lift to SLag submanifolds of M, invariant under the torus action. If k=n-1 and the first cohomology of M is trivial, then we prove that M is a fibration with generic fiber being a SLag submanifold. As an application we will see that crepant resolutions of singularities of a finite Abelian subgroup of SU(n) acting on C^n have SLag fibrations. We study SLag submanifolds on the total space K(N) of a canonical bundle of a Kahler-Einstein manifold N with positive scalar curvature. We give a conjecture about fibration of K(N) by SLag subvarieties with a certain asymptotic behavior at infinity, which we prove if N is toric. We also get similar results for coassociative submanifolds of a G_2-manifold M^7, which admits a 3-torus, a 2-torus or an SO(3)-action.

研究の動機と目的

• 非コンパクトカラビ・ヤウ多様体に対してトーラス作用を用いてキャリブレートファイブレーションを構成すること。
• ハミルトニアントーラス作用のシンプレクティック減少が全ホロモーフィック体積形式を引き継ぎ、キャリブレート構造を保つことの証明。
• 正の曲率を持つケーラー・アインシュタイン多様体の標準バンドルについて、非コンパクト版のSYZ予想を確立すること。
• $ G_2 $-多様体へと枠組みを拡張し、3トーラス、2トーラス、または $ SO(3) $ 作用のもとでコアソシエイティブ部分多様体によるファイブレーションを示すこと。
• $ G \subset SU(n) $ である有限アーベル群 $ G $ に対して $ \mathbb{C}^n / G $ のクレパント解体が、トーラス作用を介してSLagファイブレーションを有することの証明。

提案手法

• 完全カラビ・ヤウ多様体 $ M^{2n} $ にハミルトニアン $ T^k $-作用を用い、モーメント写像とシンプレクティック減少を定義する。
• シンプレクティック減少 $ M_{\text{red}} $ が元の多様体から自然な全ホロモーフィック体積形式 $ \varphi_{\text{red}} $ を引き継ぐことを証明する。
• $ M_{\text{red}} $ 内のSLag部分多様体を $ T^k $-不変SLag部分多様体に $ M $ 内に引き上げられ、作用が自由であれば逆に引き下ろせる。
• 定理2を適用し、$ k = n-1 $ かつ $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ のとき、$ M $ が $ \mathbb{R}^n $ に倣うキャリブレートファイブレーションを有し、一般ファイバーが $ T^{n-1} \times \mathbb{R} $ に微分同相であることを示す。
• モーメント写像 $ \mu' = u \pi^{-1}(\mu) $ およびレベル集合 $ u(|\xi|^2)\mu_i(\pi(\xi)) = c_i $、$ \operatorname{Im} \xi(X_1,\dots,X_n) = c_n $ を用い、$ K(N) $ 内のSLagファイバーを定義する。
• $ G_2 $-多様体における3トーラス、2トーラス、または $ SO(3) $ 作用に関する結果を適用し、減少と不変性を用いてコアソシエイティブ部分多様体によるファイブレーションを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全カラビ・ヤウ多様体にハミルトニアントーラス作用が作用するとき、どのような条件下で特殊ラグランジュ部分多様体によるキャリブレートファイブレーションが存在するか。
• RQ2 このような多様体のシンプレクティック減少が、全ホロモーフィック体積形式とキャリブレート構造をどのように引き継ぐか。
• RQ3 SYZ予想は非コンパクトカラビ・ヤウ多様体へ拡張可能か、特にケーラー・アインシュタイン多様体の標準バンドルについて。
• RQ4 $ G \subset SU(n) $ である有限アーベル群 $ G $ に対して $ \mathbb{C}^n / G $ のクレパント解体が、トーラス作用を介してSLagファイブレーションを有するか。
• RQ5 3トーラス、2トーラス、または $ SO(3) $ 作用を有する $ G_2 $-多様体におけるコアソシエイティブファイブレーションの構造はいかなるものか。

主な発見

• ハミルトニアン $ T^k $-作用を有するカラビ・ヤウ多様体 $ M^{2n} $ に対して、シンプレクティック減少 $ M_{\text{red}} $ は自然な全ホロモーフィック体積形式 $ \varphi_{\text{red}} $ を引き継ぐ。
• $ M_{\text{red}} $ 内のSLag部分多様体は $ T^k $-不変SLag部分多様体に $ M $ 内に引き上げられ、作用が部分多様体上で自由であれば逆に引き下げられる。
• $ k = n-1 $ かつ $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ のとき、$ M $ は $ \mathbb{R}^n $ に倣うキャリブレートファイブレーションを有し、一般ファイバーは $ T^{n-1} \times \mathbb{R} $ に微分同相である。
• $ K(N) $、すなわちケーラー・アインシュタイン多様体 $ N $ の標準バンドルにおけるファイブレーションのファイバーは、無限遠点で $ L_0 $ に漸近的である。ここで $ L_0 $ は $ c_i = 0 $ の点におけるファイバーである。
• $ G \subset SU(n) $ であるアーベル群 $ G $ に対して $ \mathbb{C}^n / G $ のクレパント解体は、対角作用によって誘導される $ T^{n-1} $-作用が解体に引き上げられ、SLagファイブレーションをもたらす。
• $ SO(3) $-作用を有する $ G_2 $-多様体では、正則点は互いに交わらないコアソシエイティブ部分多様体 $ SO(3) \times \mathbb{R} $ に微分同相であり、全空間は異なるタイプのこのような部分多様体で被覆される。