[論文レビュー] Can a Drinfeld module be modular?

David Goss|ArXiv.org|Oct 24, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、関数体上のランク1 Drinfeldモジュラーがモジュラーであるかどうか、すなわち、その関連するガロア表現が尖点形式または二重尖点形式から生じるかを調査する。Böckleの研究に基づき、Drinfeldモジュラーのガロア表現とモジュラー形式の間の枠組みを確立し、モジュラー性および重さ、レベル、$ r-1 $ 乗の相互法則の役割に関する重要な問いを提起する。

ABSTRACT

Let $k$ be a global function field with field of constants $\Fr$ and let $\infty$ be a fixed place of $k$. In his habilitation thesis \cite{boc2}, Gebhard Böckle attaches abelian Galois representations to characteristic $p$ valued cusp eigenforms and double cusp eigenforms \cite{go1} such that Hecke eigenvalues correspond to the image of Frobenius elements. In the case where $k=\Fr(T)$ and $\infty$ corresponds to the pole of $T$, it then becomes reasonable to ask whether rank 1 Drinfeld modules over $k$ are themselves ``modular'' in that their Galois representations arise from a cusp or double cusp form. This paper gives an introduction to \cite{boc2} with an emphasis on modularity and closes with some specific questions raised by Böckle's work.

研究の動機と目的

• ランク1 Drinfeldモジュラーが関数体上に存在する場合、そのガロア表現が尖点形式または二重尖点形式から生じるかどうかを特定すること。
• 古典的モジュラー形式とは根本的に異なる正標数設定において、ヘッケ固有値と$ q $-展開係数の関係を理解すること。
• 一様化可能なDrinfeldモジュラーから生じるガロア表現を実現するための、特に重さとレベルに関する構造的制約を調査すること。
• 古典的モジュラー形式とその正標数版との類似性を検討すること、特に$ dq = *q^2 dz $微分条件の観点から。
• 特定のDrinfeldモジュラー、例えば$ C^{(- heta)} igotimes C^{igotimes j} $のガロア表現を実現する二重尖点形式が存在するかどうかを同定すること。

提案手法

• Böckleの$ \tau $-層のコホモロジー的枠組みを用いて、尖点形式および二重尖点形式からガロア表現を構成する。
• $ \mathbb{F}_r(T) $ 上のDrinfeldモジュラー理論、特に$ \mathbb{F}_r((1/\theta)) $ 上で一様化可能なものに焦点を当て、$ v $-進表現を定義する。
• 正標数における$ q $-展開原理を活用し、$ dq = *q^2 dz $ を用いて、代数的上半平面におけるモジュラー形式を分析する。
• 尖点形式および二重尖点形式の空間に作用するヘッケ作用素を用いて、固有値とガロア表現との関係を確立する。
• $ \mathbb{F}_r[T] $ における$ (r-1) $ 乗相互法則を適用し、関連するガロアキャラクターの導手とレベルを予測する。
• 水晶上の$ Rf_* $ におけるコホモロジー的方法を用いてモジュラー性を研究するが、純粋性が保たれないため、重さの予測が複雑になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ j \geq 0 $ かつ$ j \equiv 0 \pmod{r-1} $ のとき、$ C^{(-\theta)} \otimes C^{\otimes j} $ のBöckle系ガロア表現と一致するような、ある重さおよびレベルの二重尖点形式が存在するか？
• RQ2 ランク1 Drinfeldモジュラーが$ \mathbb{F}_r(\theta) $ 上にあり、$ \mathbb{F}_r((1/\theta)) $ 上で一様化可能である場合、そのガロア表現を実現するモジュラー形式の正しい重さとレベルは何か？
• RQ3 正標数設定において、固有形式の$ q $-展開係数とヘッケ固有値の関係は、非古典的微分$ dq = *q^2 dz $ の下でどのように異なるか？
• RQ4 正標数における$ \tau $-層の$ L $-関数に対して、古典的ケースに類似した関数等式を定式化できるか？
• RQ5 尖点形式空間における二重尖点形式の補空間を張る固有形式の一般的構成法は存在するか？

主な発見

• Böckle理論による尖点形式および二重尖点形式に付随するガロア表現は、ヘッケ固有値と整合的であることが示され、モジュラー性への基礎的リンクが確立された。
• Drinfeldモジュラー$ C^{(-\theta)} $ に対して、関連するキャラクター$ \chi_{-\theta} $ の有限部分の導手は$ (T) $ であることが判明し、そのガロア表現を実現するモジュラー形式のレベルが$ (T) $ であるべきであると示唆する。
• 正標数において、$ q $-展開係数とヘッケ固有値の関係は非常に非自明であり、$ dq = *q^2 dz $ の微分のため、古典的ケースとは根本的に異なる。
• ヘッケ固有値から$ q $-展開係数を再構成する一般的手法は現在知られておらず、理論における大きなギャップを示している。
• カプランォフのコンパクト化と整合的コホモロジーを用いた議論により、モジュラー形式の空間は有限次元であることが示され、分類可能性を支持する。
• 水晶上の$ Rf_* $ における純粋性の欠如により、与えられたガロア表現を実現するモジュラー形式の重さを直接予測することは困難である。