[論文レビュー] Can the Quantum Measurement Problem be resolved within the framework of Schroedinger Dynamics?

Geoffrey L. Sewell|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限で現実的な測定装置モデルを用いて、標準的なシュレーディンガー力学の枠組み内で量子測定問題を解決できることを示している。コールム・ヒッブモデルを大規模だが有限な粒子数で分析することで、マクロな観測量の指数的感度により、波動関数の収束と指針状態の相関が自然に生じることを示しており、誤差は exp(−cN) に比例して減少する。ここで N は粒子数である。

ABSTRACT

We formulate the dynamics of the generic quantum system S_{c} comprising a microsystem S and a macroscopic measuring instrument I, whose pointer positions are represented by orthogonal subspaces of the Hilbert space of its pure states. These subspaces are simultaneous eigenspaces of a set of coarse grained intercommuting macroscopic observables and, most crucially, their dimensionalities are astronomically large, increasing exponentially with the number, N, of particles comprising I. We formulate conditions under which the conservative dynamics of S_{c} yields both a reduction of the wave packet describing the state of S and a one-to-one correspondence, following a measurement, between the pointer position of I and the resultant eigenstate of S; and we show that these conditions are fulfilled, up to utterly negligible corrections that decrease exponentially with N, by the finite version of the Coleman-Hepp model.

研究の動機と目的

• 追加の仮定なしに、標準量子力学が測定における波動関数の収束と指針状態の相関を説明できるかどうかを検証すること。
• 有限系におけるユニタリな量子進化からマクロな結果がどのように生じるかという基礎的課題に取り組むこと。
• 大きなが有限な系において、理想的および通常の測定器が保存的シュレーディンガー力学から自然に生じることを確立すること。
• 測定プロセスが局所的摂動に対して安定であり、マクロな極限において誤差が指数関数的に小さくなることの証明。
• 有限系における粗視化された、相互作用するマクロな観測量を用いた測定の厳密な数学的枠組みを提供すること。

提案手法

• 合成系 $S_c$ を、微小系 $S$ に結合された有限 N 粒子の測定装置 $\mathcal{I}$ としてモデル化し、指針位置を粗視化された、相互作用する固有空間を持つ観測量によって定義する。
• トレースの重なりに関する条件により、理想および通常の測定器を定義する：$\mathrm{Tr}(\hat{\Omega}_+\hat{\Pi}_-) = \mathrm{Tr}(\hat{\Omega}_-\hat{\Pi}_+) = 0$（理想性）および $\mathrm{Max}[\cdots] < \hat{\eta}(L)$（通常性）、ここで $\hat{\eta}(L) = \eta(2L+1)$ である。
• スピン 1/2 粒子を用いて $\mathcal{I}$ を表す有限なコールム・ヒッブモデルを適用し、グローバルな偏光 $m$ と結合角 $J$ を制御パラメータとして用いる。
• スターリングの近似を用いてトレース式の主要項を推定し、$\hat{\eta}(L) \sim \exp(-cL)$ となることを示し、ここで $c = -(1/2)\ln(1 - m^2\cos^2(2J))$ である。
• 初期状態の局所的摂動およびグローバル偏光 $m$ の微小変化に対しても、測定器の振る舞いが安定しており、特に通常の領域において顕著である。
• 指針位置が微小系の固有状態と一対一に対応し、誤った結果の確率が $\exp(cL)$ に比例して指数的に抑制されることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリなシュレーディンガー力学のもとで、有限で保存的な量子系において波動関数の収束と指針状態の相関が自然に生じるか。
• RQ2 マクロな測定装置の結合および初期状態にどのような条件を課すと、波束の縮退と信頼性の高い結果相関が両方保証されるか。
• RQ3 測定結果の局所的摂動に対する安定性は、初期状態および装置のパラメータにどのように依存するか。
• RQ4 通常の測定器における結果相関の定量的誤差率は何か。また、系のサイズにどのように依存するか。
• RQ5 有限な測定装置モデルは、有限の測定時間で無限系モデル（例：ヘップ、ホイッテン＝ウルフ＝エムチ）の理想化された結果を再現できるか。

主な発見

• 有限なコールム・ヒッブモデルは、理想および通常の測定行動の条件を満たしており、理想状態は特定のパrameter値（$m=1$, $J=\pi/2$）でのみ成立する。
• $J \in (\pi/4, \pi/2]$ および $m \in (-1,0)$ の範囲では、$\hat{\eta}(L) = \exp(-cL)$ となる通常の測定器となり、ここで $c = -(1/2)\ln(1 - m^2\cos^2(2J))$ である。このため誤差は指数的に小さくなる。
• 誤った測定結果の確率は $\exp(cL)$ に比例して抑制され、実質的に天文学的に稀な出来事となる。
• グローバル偏光 $m$ の微小摂動および測定装置初期状態の局所的変更に対しても、測定プロセスは安定である。
• 波動関数の収束と一対一の指針状態相関が、非線形性や環境との結合を仮定せず、保存的シュレーディンガー力学から自然に生じる。
• この枠組みにより、シュレーディンガー力学の修正（非線形項や宇宙全体への結合など）が測定問題の解決に必要でないことが示された。