[論文レビュー] Canonical height functions defined on the affine plane associated with regular polynomial automorphisms

Shu Kawaguchi|arXiv (Cornell University)|May 1, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、数体 $K$ 上の正則多項式自己同型の力学的次数 $\delta \geq 2$ に関連する、アフィン平面 $\mathbb{A}^2$ 上の正規化高函数を構成する。これらの高函数はノースコットの有限性を満たし、$f$-周期点においてのみ0に等しくなる。応用として、無限大 $f$-軌道における有界高の点の数に対する上界が得られる。

ABSTRACT

Let $f: \mathbb{A}^2 o \mathbb{A}^2$ be a polynomial automorphism of dynamical degree $\delta \geq 2$ over a number field $K$. (This is equivalent to say that $f$ is a polynomial automorphism that is not triangularizable.) Then we construct canonical height functions defined on $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ associated with $f$. These functions satisfy the Northcott finiteness property, and an $\bar{K}$-valued point on $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ is $f$-periodic if and only if its height is zero. As an application of canonical height functions, we give an estimate on the number of points with bounded height in an infinite $f$-orbit.

研究の動機と目的

• 数体 $K$ 上の正則多項式自己同型で力学的次数 $\delta \geq 2$ を持つものについて、$\mathbb{A}^2(\bar{K})$ 上に正規化高函数を定義すること。
• これらの高函数がノースコットの有限性を満たすことを確立すること。
• $f$-周期点が正しく高が0である点として特徴付けられることを示すこと。
• 高函数を用いて、無限大 $f$-軌道における有界高の点の数を推定すること。

提案手法

• 数体 $K$ 上のアフィン平面 $\mathbb{A}^2$ 上の正則多項式自己同型の力学的性質を用いて、正規化高函数を定義する。
• 力学的次数 $\delta \geq 2$ を用いて、非三角化可能で非自明な力学的性質を保証する。
• $f$ による作用に関して不変であり、ノースコット型の有限性条件を満たす高函数を構成する。
• 高が0であることは、点が $f$-周期的であることと同値であることを証明する。
• 高函数を用いて、無限大 $f$-軌道における有界高の点の数を上界で評価する。
• 正規化高の性質を用いて、算術的力学における定量的推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則多項式自己同型で力学的次数 $\delta \geq 2$ を持つものについて、$\mathbb{A}^2$ 上に正規化高函数をどのように定義できるか。
• RQ2 これらの高函数が満たす力学的性質、特に有限性と周期性に関しては何か。
• RQ3 正規化高を用いて、無限大 $f$-軌道における有界高の点の数を推定できるか。
• RQ4 $f$-周期点は高の観点からどのように正確に特徴付けられるか。
• RQ5 正規化高函数は $f$ の反復に対してどのように振る舞うか。

主な発見

• 力学的次数 $\delta \geq 2$ を持つ多項式自己同型について、$\mathbb{A}^2(\bar{K})$ 上に正規化高函数が構成され、$f$ に関して不変であることが保証される。
• 高函数はノースコットの有限性を満たし、有界高の点は有限個である。
• $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ の点が $f$-周期的であることと、その正規化高が0であることとは同値である。
• 構成手法により、無限大 $f$-軌道における有界高の点の数を推定するための道具が得られる。
• 結果は、非三角化可能な多項式自己同型に限定され、単純な場合を除く。
• 正規化高函数は適切に定義されており、$f$ の力学的性質に一貫して従う。