[논문 리뷰] Canonical Structure of Noncommutative Quantum Mechanics as Constraint System

Masayoshi Nakamura|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 10.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비가환 양자역학의 코ordinat과 운동량의 동시 비가환성을 다루는 캐논ical 프레임워크를 제안한다. 비가환 매개변수의 모든 차수까지 포함하는 일관된 캐논ical 운동량 대칭 집합(CC)의 교환관계 대수를 유도하고, Seiberg-Witten 및 Bopp shift 변환과 동치인 정확한 CC를 구성하며, 이중 Chern-Simons 유사 항항을 포함하는 새로운 1차 특이 라그랑지안을 통해 접근법을 검증한다. 이는 투영 연산자 방법(POM)과 스타곱 양자화를 사용한다.

ABSTRACT

Starting with the first-order singular Lagrangian, the canonical structure in the noncommutative quantum mechanics with the noncommutativities both of coordinates and momenta is investgated. Using the projection operator method (POM) for the constraint systems and the constraint star-product, the noncommutative quantum system is constructed and the commutator algebra of {\it projected} canonically conjugate set(CCS) of the system is derived in the form including all orders of the noncommutativity parameters. We discuss the alternative CCS, which obeys the ordinary noncommutative commutator algebra. The {\it exact} CCS is constructed in the framework of the POM, and which is shown to be equivalent to the CCS constructed through the Seiberg-Witten map and the Bopp shift. We further discess the alternative Lagrangian to realize the noncommutativities both of coordinates and momenta.

연구 동기 및 목표

• 좌표와 운동량의 비가환성을 동시에 고려한 비가환 양자역학에 대해 일관된 캐논ical 양자화 프레임워크를 개발하는 것.
• 2차 제약이 있는 제약 체계에서 순서의 모호성을 해결하기 위해 투영 연산자 방법(POM)을 사용하는 것.
• 비가환 매개변수의 모든 차수를 포함하는 투영된 CC 집합의 교환관계 대수를 유도하는 것.
• POM으로 유도된 정확한 CC가 Seiberg-Witten 변환과 Bopp shift 변환을 통해 얻어진 것과 동치임을 확립하는 것.
• 이중 Chern-Simons 유사 항항을 포함하는 1차 특이 라그랑지안 모델을 제안하여 좌표와 운동량의 양쪽 비가환성을 동시에 실현하는 것.

제안 방법

• 좌표와 운동량의 비가환성을 모델링하기 위해 두 개의 Chern-Simons 유사 항항을 포함하는 1차 특이 라그랑지안을 설정한다.
• 2차 제약을 제거하기 위해 투영 연산자 방법(POM)을 적용하여 연속적인 투영에서도 일관성을 확보한다.
• 스타곱 양자화를 사용하여 비가환 매개변수의 모든 차수를 포함하는 투영된 CC 집합의 교환관계 대수를 구성한다.
• 비가환성의 구조를 제어하는 행렬 $ M = I + \frac{1}{4}\Theta\Xi $ 과 $ \bar{M} = I - \frac{1}{4}\Theta\Xi $ 를 정의한다.
• 표준 교환관계 $[Q^i, Q^j]=0$, $[Q^i, P_j]=i\hbar\delta^i_j$, $[P_i, P_j]=0$ 를 만족하는 정확한 CC $ (Q^i, P_i) $ 를 유도한다.
• POM 결과의 타당성을 입증하기 위해 Seiberg-Witten 변환과 Bopp shift의 명시적 연산자 매핑을 통한 등가성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 좌표와 운동량의 비가환성을 동시에 고려한 비가환 양자역학에 대해 일관된 캐논ical 구조를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 혼합된 비가환성을 가진 2차 제약을 가진 체계에 대해 투영 연산자 방법(POM)이 순서에 영향을 받지 않는 결과를 도출하는가?
• RQ3 POM로 유도된 정확한 CC가 Seiberg-Witten 변환 또는 Bopp shift를 통해 얻어진 표준 비가환 위상공간과 동치임을 입증할 수 있는가?
• RQ4 모든 비가환 매개변수의 차수를 포함할 경우 전체 교환관계 대수는 어떤 형태를 가질 수 있는가?
• RQ5 좌표와 운동량의 비가환성을 동시에 실현하기 위해 1차 특이 라그랑지안을 어떻게 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 투영된 CC 집합의 교환관계 대수는 $[q^i, q^j] = i\hbar(M^{-1}\Theta M^{-1})_{ij}$, $[q^i, p_j] = i\hbar(M^{-1}\bar{M}M^{-1})_{ij}$, $[p_i, p_j] = i\hbar(M^{-1}\Xi M^{-1})_{ij}$ 로 유도되며, $\Theta$ 와 $\Xi$ 의 모든 차수를 포함한다.
• 초기 체계의 제약 연산자 구조가 특별히 정교하게 되어 있어 POM 절차는 유일하고 순서에 영향을 받지 않는 결과를 도출한다.
• 표준 캐논ical 교환관계 $[Q^i, Q^j]=0$, $[Q^i, P_j]=i\hbar\delta^i_j$, $[P_i, P_j]=0$ 를 만족하는 정확한 CC $ (Q^i, P_i) $ 가 구성되어 표준 양자화와의 일관성을 확인한다.
• POM으로 유도된 정확한 CC가 Seiberg-Witten 변환과 Bopp shift를 통해 얻어진 것과 동치임을 입증하여 방법의 일관성을 검증한다.
• 최종 제약 양자 체계를 완성하기 위해 투영된 해밀토니안 $ H^* = \hat{\cal P} h_0(x,v) $ 가 도출된다.
• 이중 Chern-Simons 유사 항항을 포함하는 새로운 1차 특이 라그랑지안은 좌표와 운동량의 양쪽 비가환성을 성공적으로 실현하며, 통합된 역학적 모델을 제공한다.