[論文レビュー] Canonical Wick rotations in 3-dimensional gravity

Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante|ArXiv.org|Aug 25, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、3次元重力における普遍的なWick回転・スケーリング理論を確立し、一定曲率の最大全域的因果的時空、複素射影構造、双曲的3次元多様体を普遍的な幾何的枠組みによって統一する。同じ符号化構造を持つ時空は、宇宙論的時間に沿った標準的なスケーリングおよびWick回転によって関連づけられ、Mess/Scannell分類におけるパrameter空間の一致を幾何学的に説明する。これは、非コンパクトな因果的表面への一般化を含む。

ABSTRACT

We develop a ``canonical Wick rotation-rescaling theory in 3-dimensional gravity''. This includes: (a) A simultaneous classification that shows how generic maximal globally hyperbolic spacetimes of constant curvature, which admit a complete Cauchy surface (in particular a compact one), as well as complex projective structures on arbitrary surfaces, are all encoded by pairs (H,L), H being a ``straight convex sets'' in the hyperbolic plane, and L a ``measured geodesic laminations'' suitably defined on H. (b) Canonical geometric correlations: spacetimes of different curvature, that share a same encoding pair (H,L), are related to each other by ``canonical rescaling''; they can be transformed by ``canonical Wick rotations'' in hyperbolic 3-manifolds, that carry asymptotically the corresponding projective structures. Both Wick rotations and rescalings act along the "canonical cosmological time" and have ``universal rescaling functions''. These correlations are functorial with respect to isomorphisms of the respective geometric categories. We analyze the behaviour along a ray of measured laminations, (broken) T-symmetry by spacetimes of negative curvature, the relationship with ``earthquake theory'', beyond the case of compact Cauchy surface. WR-rescaling does apply on the ``ends'' of geometrically finite hyperbolic 3-manifolds, that hence realize concrete interactions of their globally hyperbolic ``ending spacetimes'' of constant curvature. It also provides further "classical amplitudes" of these interactions, beyond the volume of the hyperbolic convex cores.

研究の動機と目的

• 一定曲率の最大全域的因果的時空、複素射影構造、双曲的3次元多様体の分類を、一つの幾何的枠組みで統一すること。
• 宇宙論的時空を普遍的パラメータとして用い、スケーリングとWick回転を通じて、異なる曲率の時空同士の標準的幾何的相関関係を確立すること。
• Mess/Scannell分類におけるパrameter空間の一致（ティッヒミュラー空間 × 測度付きリーマン構造）を、明確な幾何的メカニズムによって説明すること。
• 測度付き地図的リーマン構造を用いたH²内の直線的凸集合上で定義される測度付き地図的リーマン構造を用いて、非コンパクトな因果的表面への分類を一般化すること。
• ML(H²)-時空やQD-時空といった特別なクラスを分析し、それらが地図的変形理論や双曲的3次元多様体のエンド幾何とどのように関連するかを探索すること。

提案手法

• 最大全域的因果的時空に定義された標準的宇宙論的時間関数を用いる。
• 宇宙論的時間に沿って作用する普遍的スケーリング関数と標準的Wick回転を構成し、異なる曲率の時空を互いに変換する。
• この枠組みはファンクター記法的である：幾何的カテゴリ（時空、射影構造、双曲的多様体）における同型写像は変換のもとで保存される。
• 非コンパクトな場合の構成には、H²内の直線的凸集合上での測度付き地図的リーマン構造を用い、PSL(2,R)の離散部分群による不変性を仮定する。
• QD-時空の場合、リーマン面上の二次微分形式を用いて、 genus g=1 の因果的表面を持つ時空を生成する。
• 幾何的に有限な双曲的3次元多様体のエンドに理論を適用し、それらのエンド時空間の間の相互作用を標準的変換によって実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一定曲率の最大全域的因果的時空、複素射影構造、双曲的3次元多様体を、同一の符号化構造の下で統一することは可能か？
• RQ2 Mess/Scannell分類におけるパrameter空間の一致（Tg × M(L)）の背後にある幾何的メカニズムは何か？ なぜこの空間が時空と射影構造の両方をパラメータ化するのか？
• RQ3 標準的Wick回転とスケーリングは、異なる曲率の時空同士をどのように関連づけ、幾何的カテゴリ間の同型写像を保存するのか？
• RQ4 AdS ML(H²)-時空における破れたT対称性の役割は何か？ また、これはコンパクトでない因果的表面を超えて、地図的変形理論とどのように関連するか？
• RQ5 Wick回転・スケーリングの仕組みは、トポロジカルに tame な双曲的3次元多様体のエンドへ拡張可能か？ そして、それによってエンド幾何の性質がどのように明らかになるか？

主な発見

• 本稿は、共通の符号化構造を通じて、一定曲率の最大全域的因果的時空、表面上の複素射影構造、双曲的3次元多様体の間で普遍的かつファンクター記法的な対応関係を確立する。
• 同じ符号化構造を持つ時空は、普遍的スケーリング関数を用いた標準的スケーリングおよびWick回転によって、標準的宇宙論的時間に沿って関連づけられる。
• Mess/Scannell分類におけるパrameter空間の一致は、共通の符号化構造に起因するものであり、偶然ではない。
• 非コンパクトな因果的表面では、H²内の直線的凸集合上での測度付き地図的リーマン構造が用いられ、離散群作用による不変性が考えられる。
• 二次微分形式によって生成されるQD-時空クラスは、すべてのgenus g=1 時空を含み、このような場合の標準的枠組みを提供する。
• 理論は、幾何的に有限な双曲的3次元多様体のエンドに適用可能であり、それらのエンド時空間の間の具体的な相互作用を実現し、凸核体積を超えた古典的振幅を提供する。