[論文レビュー] Canonicity and normalisation for Dependent Type Theory

Kaposi, Ambrus, Huber, Simon+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、構成的集合論（CZFu<ω）における証明関連還元可能性モデルを用いて、累積的ユニバースとη変換を備えた依存型理論における正規化および一意性の構成的で代数的な証明を提示する。還元可能性を性質ではなく構造として扱うことで、還元関係や結合性の証明を回避し、最小限のメタ理論的強度と初期モデルへの直接的な接続を達成することで、両結果を同時に得ている。

ABSTRACT

The relationship between categorical gluing and proofs using the logical relation technique is folklore. In this paper we work out this relationship for Martin-Löf type theory and show that parametricity and canonicity arise as special cases of gluing. The input of gluing is two models of type theory and a pseudomorphism between them and the output is a displayed model over the first model. A pseudomorphism preserves the categorical structure strictly, the empty context and context extension up to isomorphism, and there are no conditions on preservation of type formers. We look at three examples of pseudomorphisms: the identity on the syntax, the interpretation into the set model and the global section functor. Gluing along these result in syntactic parametricity, semantic parametricity and canonicity, respectively.

研究の動機と目的

• 累積的ユニバースとη変換を備えた依存型理論における一意性および正規化を確立すること。
• 同一の項が複数の型として表現される可能性がある場合に生じる曖昧性を避けるように、ユニバースにおける還元可能性を定義する技術的困難を克服すること。
• 従来のアプローチの中心的要素である還元関係および結合性証明の必要性を排除すること。
• 還元関係を一切用いず、初期モデルに基づく完全に代数的な構成によって、一意性および正規化を両方得ること。
• 必要なメタ理論が、対象理論の強度と一致するほど弱く抑えられることを示すこと。

提案手法

• 還元可能性を性質ではなく構造として扱う証明関連還元可能性モデルを導入し、曖昧さのない帰納的再帰的定義を可能にする。
• 構文の構造的帰納法に基づき、各型および項に対して還元可能性解釈を定義し、各閉項に還元可能性構造を割り当てる。
• 任意のモデル M から、文脈に還元可能性族を拡張することで新しいモデル M* を構成する。これは中立項および正規形項上のプレシーヴァ型構成に類似している。
• 中立形と正規形の間の双対性を捉えるために、α（反映）およびβ（再帰的再構成）という成分を備えた「接着」モデル構造を用いる。
• 初期モデルにこの構成を適用することで、一意性および等価性の決定可能性を導出する。
• 証明の理論的強度を最小限に抑えるために、構成的集合論（CZFu<ω）をメタ理論として採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 還元関係や結合性に依存せずに、累積的ユニバースとη変換を備えた依存型理論における一意性を証明できるか？
• RQ2 項が複数の型として表現される場合に生じる曖昧性を避けるために、ユニバースにおける還元可能性をどのように定義できるか？
• RQ3 明示的な記号的還元を一切用いず、完全に代数的かつ初期モデルに基づくアプローチで正規化を確立できるか？
• RQ4 証明関連還元可能性モデルを用いて、最小限のメタ理論的仮定のもとで一意性および正規化の両方を達成できるか？
• RQ5 この手法を帰納的型および全射的ペアリングを備えた依存型積へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、型 N2 に対して一意性を確立した。任意の閉項は、0 または 1 と命題的に等しい。
• 還元可能性モデルを証明関連的に用いた構成により正規化が証明され、初期モデルにおける等価性は決定可能である。
• 初期モデルにおける等価性関係は決定可能である。これは、Norm(A) 内で αaa = αbb が成り立つのは a = b であるときかつそのときに限ることから示される。
• 本手法は還元関係や結合性証明を回避しており、[1, 7, 15, 16] における従来の議論を簡略化している。
• 構成により、射影 M* → M および初期モデルからのセクションを持つモデル M* が得られ、初期性により一意性および正規化が保証される。
• このアプローチは、依存型積や W 型を含む帰納的型へ一般化可能であり、広範な適用可能性を示している。