[論文レビュー] Cardinal invariants concerning functions whose sum is almost continuous

Krzysztof Ciesielski, Arnold W. Miller|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 1994

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ほぼ連続関数およびその和に関連する基数不変量を調査する。AA と表記される、すべての和 f+g がほぼ連続関数になるような単一の関数 g が存在しない実関数の族の最小サイズについて、その共終度が連続体より大きく、かつ 2^c までの任意の正則基数になり得ることを示し、ZFC に依存しないことを示している。さらに、AA がダーボウス関数の類似不変量 AD に等しいことを証明し、分野における問題を解決する。

ABSTRACT

A function f from reals to reals (f:R->R) is almost continuous (in the sense of Stallings) iff every open set in the plane which contains the graph of f contains the graph of a continuous function. Natkaniec showed that for any family F of continuum many real functions there exists g:R->R such that f+g is almost continuous for every f in F. Let AA be the smallest cardinality of a family F of real functions for which there is no g:R->R with the property that f+g is almost continuous for every f in F. Thus Natkaniec showed that AA is strictly greater than the continuum. He asked if anything more could be said. We show that the cofinality of AA is greater than the continuum, c. Moreover, we show that it is pretty much all that can be said about AA in ZFC, by showing that AA can be equal to any regular cardinal between c^+ and 2^c (with 2^c arbitrarily large). We also show that AA = AD where AD is defined similarly to AA but for the class of Darboux functions. This solves another problem of Maliszewski and Natkaniec.

研究の動機と目的

• AA と呼ばれる基数不変量の共終度および可能な値を特定すること。AA は、すべての f に対して f+g がほぼ連続関数になるような単一の関数 g が存在しない実関数の族の最小サイズとして定義される。
• AA と AD 間の関係を調査すること。AD はダーボウス関数の類似不変量である。
• Natkaniec が以前に AA > c を示したことに基づき、ZFC において AA の値がどの程度決定可能かを検討すること。
• Maliszewski と Natkaniec が提起した、AA と AD の等価性に関する問題を解決すること。

提案手法

• 著者たちは、特に平面におけるグラフ位相に注目して、位相的および集合論的手段を用いてほぼ連続関数の構造を分析する。
• 強制法と独立性技法を用いて、AA が c^+ から 2^c の間の任意の正則基数に等しくなる可能性があることを示し、2^c が任意に大きくても成立することを示す。
• AA = AD の証明は、適切な関数の構成と、ほぼ連続性の位相において稠密なダーボウス関数の性質を利用する。
• 著者たちは、Stallings の定義に基づいて、平面における「グラフで稠密な」集合の概念を用いて、ほぼ連続関数を特徴付ける。
• AA の共終度を特定するために、関数族を構成し、基数不変量を大きくするように強制する。
• 実数の組合せ的性質を用いて、固定された g に対してその和がほぼ連続関数になる関数のイデアルを精密に分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AA という基数不変量の共終度は何か。AA は、すべての f に対して f+g がほぼ連続関数になるような単一の関数 g が存在しない関数族の最小サイズとして定義される。
• RQ2 AA は c^+ から 2^c の間の任意の正則基数に等しくなる可能性があるか。もしそうなら、ZFC と整合的か。
• RQ3 基数不変量 AA は、ダーボウス関数の類似不変量 AD に等しいか。
• RQ4 Natkaniec が AA > c を示したことに基づき、ZFC において AA の値はどの程度決定可能か。
• RQ5 ほぼ連続関数およびその和のどのような構造的性質が、このような独立性結果を可能にするか。

主な発見

• AA の共終度は連続体より大きい。これは、AA が 2^c より少ない集合の和集合として表現できないことを意味する。
• AA は c^+ から 2^c の間の任意の正則基数に等しくなることができ、ZFC と整合的である。2^c が任意に大きくても成立する。
• AA = AD が成り立つ。これは、すべての f に対して f+g がほぼ連続関数になるような g が存在しない関数族の最小サイズが、ダーボウス関数の類似不変量に等しいことを意味する。
• この結果により、Maliszewski と Natkaniec が提起した AA と AD の等価性に関する問題が解決された。
• この論文は、AA が ZFC のみでは決定されないことを示しており、与えられた範囲内でその値が広く変動しうることを確認している。
• 分析により、ほぼ連続関数のクラスは、その豊かさのおかげで、このような独立性結果を可能にすることが確認された。AA > c が ZFC で証明可能であるにもかかわらず、AA の値は広範囲で変動しうる。