[論文レビュー] Cartan and Berwald connections in the pullback formalism

Nabil L. Youssef, S. H. Abed+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、プルバック形式を用いて、Finsler多様体上のCartan接続およびBerwald接続の存在および一意性を、座標に依存しない内挿的証明により提示している。Klein-Grifoneアプローチの概念を統合し、Cartan接続の半スプレーが標準スプレーに一致し、非線形接続がBarthel接続に一致することを確立している。Berwald接続とCartan接続を結ぶ明示的な内挿的公式を導出し、局所的表現が古典的結果と一致することを示している。

ABSTRACT

Adopting the pullback approach to global Finsler geometry, the aim of the present paper is to provide new intrinsic (coordinate-free) proofs of intrinsic versions of the existence and uniqueness theorems for the Cartan and Berwald connections on a Finsler manifold. To accomplish this, the notions of semispray and nonlinear connection associated with a given regular connection, in the pullback bundle, is introduced and investigated. Moreover, it is shown that for the Cartan and Berwald connections, the associated semispray coincides with the canonical spray and the associated nonlinear connection coincides with the Barthel connection. An explicit intrinsic expression relating both connections is deduced.

研究の動機と目的

• Finsler幾何学におけるCartan接続およびBerwald接続の存在および一意性定理を、座標に依存しない内挿的証明を提供すること。
• 主要な幾何的対象の同定を通じて、プルバック形式とKlein-Grifoneアプローチとの間のグローバルで幾何的な関係を確立すること。
• Berwald接続とCartan接続を結ぶ明示的な内挿的公式を導出し、グローバルに有効で、古典的局所的結果と整合することを保証すること。
• Berwald接続の計量性の性質を用いて、リーマン的およびLandsberg的Finsler多様体を特徴づけること。

提案手法

• 正則接続に関連する半スプレーおよび非線形接続の概念を導入し、調査すること。
• 幾何的宇宙として$\pi^{-1}(TM)$を用い、$\pi$-ベクトル場および$\pi$-テンソル場を内挿的に取り扱うこと。
• Cartan接続$\nabla$を基礎的対象とし、$\nabla$、テンソル$\widehat{P}$、およびねじれ$T$を含む分解を用いてBerwald接続$D^\circ$を構成すること。
• 基本的$\pi$-ベクトル場$\overline{\eta}$と、$\pi^{-1}(TM)$、$T({\cal T}M)$、および垂直バンドルを含む短完全列を用いること。
• 核心的構成メカニズムとして、$D^\circ_X \overline{Y} = \nabla_X \overline{Y} + \widehat{P}(\rho X, \overline{Y}) - T(KX, \overline{Y})$という重要な公式を導出すること。
• 導出された表現を用いて、Berwald接続の定義的性質（計量性、ねじれなし、水平／垂直適合性）を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プルバック形式において、局所座標を用いずに、Cartan接続の存在および一意性をどのように内挿的に証明できるか？
• RQ2 Cartan接続に付随する半スプレーと標準スプレーとの間の内挿的関係は何か？
• RQ3 Cartan接続に関連する非線形接続は、Barthel接続とどのように関係するか？
• RQ4 プルバック形式において、Berwald接続とCartan接続を結ぶ明示的な内挿的表現は何か？
• RQ5 Berwald接続がFinsler計量を保存する条件は何か？そして、その条件がリーマン的およびLandsberg的多様体を特徴づけるのはどのような場合か？

主な発見

• Cartan接続に付随する半スプレーは、標準スプレーに一致し、根本的な幾何的関係を確立する。
• Cartan接続に関連する非線形接続は、Barthel接続に一致し、Finsler幾何学における二つの主要なアプローチを統合する。
• Berwald接続$D^\circ$は、公式$D^\circ_X \overline{Y} = \nabla_X \overline{Y} + \widehat{P}(\rho X, \overline{Y}) - T(KX, \overline{Y})$によって一意に定まる。これはグローバルで内挿的な表現を提供する。
• Berwald接続の計量性の性質は明示的に特徴づけられる：$D^\circ_{\gamma\overline{X}}g = 2g(T(\overline{X},\overline{Y}), \overline{Z})$および$D^\circ_{\beta\overline{X}}g = -2g(\widehat{P}(\overline{X},\overline{Y}), \overline{Z})$。
• Finsler多様体がリーマン的であるための必要十分条件は$D^\circ_{\gamma\overline{X}}g = 0$であり、Landsberg的であるための必要十分条件は$D^\circ_{\beta\overline{X}}g = 0$である。これは内挿的特徴づけを提供する。
• すべての導出されたグローバル結果は、局所的に計算した場合、古典的局所的表現（Cartan接続およびBerwald接続のもの）を再現する。