[論文レビュー] Casimir operators for Lie superalgebras

Dimitry Leites, A. N. Sergeev|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変形量子化を用いて、残りの古典的リーヒルベルト代数—具体的には ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ および ${\mathfrak{po}}(0|2n-1)$—のカシミール作用素を構成する。${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ および ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ のカシミール作用素の $\hbar$-展開における最低次の項が、それぞれのポアソン超代数 ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ および ${\mathfrak{po}}(0|2n-1)$ のカシミール作用素を与える。この予想は $m \leq 6$ で証明された。

ABSTRACT

Casimir operators -- the generators of the center of the enveloping algebra -- are described for simple or close to them ``classical'' finite dimensional Lie superalgebras with nondegenerate symmetric even bilinear form in Sergeev A., The invariant polynomials on simple Lie superalgebras. Represent. Theory 3 (1999), 250--280; math-RT/9810111 and for the ``queer'' series in Sergeev A., The centre of enveloping algebra for Lie superalgebra Q(n, C). Lett. Math. Phys. 7, no. 3, 1983, 177--179. Here we consider the remaining cases, and state conjectures proved for small values of parameter. Under deformation (quantization) the Poisson Lie superalgebra po(0|2n) on purely odd superspace turns into gl(2^{n-1}|2^{n-1}) and, conjecturally, the lowest terms of the Taylor series expansion with respect to the deformation parameter (Planck's constant) of the Casimir operators for gl(2^{n-1}|2^{n-1}) are the Casimir operators for po(0|2n). Similarly, quantization sends po(0|2n-1) into q(2^{n-1}) and the above procedure makes Casimir operators for q(2^{n-1}) into same for po(0|2n-1). Casimir operators for the Lie superalgebra vect(0|m) of vector fields on purely odd superspace are only constants for m>2. Conjecturally, same is true for the Lie superalgebra svect(0|m) of divergence free vector fields, and its deform, for m>3. Invariant polynomials on po(0|2n-1) are also described. They do not correspond to Casimir operators.

研究の動機と目的

• 有限次元古典的リーヒルベルト超代数のカシミール作用素の分類を完成させるために、未解決のケースである ${\mathfrak{po}}(0|m)$ 及びその類縁を扱う。
• 量子化超代数（${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ および ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$）のカシミール作用素と、ポアソン超代数 ${\mathfrak{po}}(0|m)$ のカシミール作用素との間の対応を確立する。
• ${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上のすべての不変多項式が、${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ や ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ の不変量の $\hbar$-展開における最低次の項として得られることを示す予想を証明する。
• ${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上の不変多項式が、超トレースによって生成されるものと、グラスマン変数に関する積分から生じるものの間の違いを明確にする。特に $m \geq 4$ の場合に注目する。

提案手法

• 変形量子化を用いる：パrameter $\hbar$ を用いて、ポアソン超代数 ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ を ${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ に、${\mathfrak{po}}(0|2n-1)$ を ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ に変形する。
• 関数からクリフォード代数の作用素への写像 $Q$ を適用し、$\hbar$-補正項までポアソン括弧を保存する。
• ${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ および ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ の既知のカシミール作用素の $\hbar$-展開における最低次の項を抽出し、${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上の不変量の候補を得る。
• lemma $[Q(f), Q(g)] = \hbar \{f,g\} + \mathcal{O}(\hbar^2)$ を用いて、これらの候補が実際に ${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上の不変多項式であることを検証する。
• $\operatorname{str}(Q(f)^k) = \frac{1}{k} \int f^k \operatorname{vol} \cdot \hbar^n + \mathcal{O}(\hbar^n)$ の事実を用いて、超トレース不変量と積分不変量を関連付ける。
• ${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ や ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ の不変量の $\hbar$-展開における最低次の項から得られる不変量が、すべての不変量を生成することを、直接計算により $m = 2n \leq 6$ で証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン超代数 ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ のカシミール作用素は、${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ のカシミール作用素の $\hbar$-展開から得られるか？
• RQ2 同様の量子化手順により、${\mathfrak{po}}(0|2n-1)$ 上のすべての不変多項式が ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ から得られるか？
• RQ3 ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ 上で標準的な超トレース不変量 $P_{k,\rho} = \operatorname{str}(\rho(X)^k)$ が $n \geq 2$ の場合にすべての不変量を生成しないのはなぜか？
• RQ4 積分不変量 $r_k = \int f^k \operatorname{vol}$ は、${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上の不変量代数を完全に生成する役割を果たすか？
• RQ5 ${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上のすべての不変量が、${\mathfrak{gl}}$ や ${\mathfrak{q}}$ 不変量の $\hbar$-展開における最低次の項として得られることの一般性は正しいか？

主な発見

• ${\mathfrak{gl}}(2^{n-1}|2^{n-1})$ のカシミール作用素の最低次の $\hbar$-項は ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ 上の不変多項式を与える。同様に ${\mathfrak{q}}(2^{n-1})$ のカシミール作用素の最低次の項は ${\mathfrak{po}}(0|2n-1)$ 上の不変多項式を与える。
• $m = 2n \leq 6$ の場合、${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上のすべての不変多項式がこの量子化手続きから得られることを証明した。
• 不変多項式 $r_k = \int f^k \operatorname{vol}$ は、$n \geq 2$ の場合に全不変量代数を生成しない。径数部 $x_1^2x_2^2(x_1^2 - x_2^2)$ を持つ反例により示された。
• ${\mathfrak{po}}(0|2n)$ 上の不変量代数は、超トレース不変量 $P_{k,\rho}$ と積分不変量 $r_k$ によって生成される代数を厳密に含むため、より洗練された構造を持つことが示された。
• 量子化写像 $Q$ は $\mathcal{O}(\hbar^2)$ までポアソン括弧を保存するため、${\mathfrak{po}}(0|m)$ 上の不変量の $Q$-像は、量子化超代数上での不変量である。
• $\operatorname{str}(Q(f)^k)$ は $\frac{1}{k} \int f^k \operatorname{vol} \cdot \hbar^n + \mathcal{O}(\hbar^n)$ に展開され、これにより積分不変量と作用素不変量が結びつけられる。