[論文レビュー] Castelnuovo function, zero-dimensional schemes and singular plane curves

Gert–Martin Greuel, Christoph Lossen+1 more|ArXiv.org|Mar 30, 1999

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、特異平面曲線族の研究のためのキャステルヌオヴォ関数を導入し、次元がゼロのスキームとクラスター理論を用いて、T-滑らかさおよび不変性の新たな十分条件を導出する。クラスターに由来する無限に近い点の集合に対するヒルベルト汎関数の不変性を証明し、理想層の消滅定理を確立することで、期待される次元で滑らかであるような曲線族に対して、漸近的に最適な条件が得られる。

ABSTRACT

We study families V of curves in P^2 of degree d having exactly r singular points of given topological or analytic types. We derive new sufficient conditions for V to be T-smooth (smooth of the expected dimension), respectively to be irreducible. For T-smoothness these conditions involve new invariants of curve singularities and are conjectured to be asymptotically proper, i.e., optimal up to a constant factor. To obtain the results, we study the Castelnuovo function, prove the irreducibility of the Hilbert scheme of zero-dimensional schemes associated to a cluster of infinitely near points of the singularities and deduce new vanishing theorems for ideal sheaves of zero-dimensional schemes in P^2. Moreover, we give a series of examples of cuspidal curves where the family V is reducible, but where the fundamental groups of P^2 \ C coincide (and are abelian) for all C in V.

研究の動機と目的

• 代数幾何的道具を用いて、指定された特異性を持つ平面曲線族の幾何を理解すること。
• 特に、位相的または解析的特異性を持つ曲線に対して、そのような族が滑らか（T-滑らか）または不変であるときの条件を同定すること。
• 曲線族の次元および滑らかさを予測するのに役立つ、特異性の不変量（特にキャステルヌオヴォ関数）を構築すること。
• 特異性に由来する無限に近い点のクラスターに関連するヒルベルトスキームの不変性を証明すること。
• P^2におけるゼロ次元スキームの理想層の高次コホロロジーに対する消滅定理を確立し、主結果を支えること。

提案手法

• 特異性の新たな不変量としてキャステルヌオヴォ関数を導入・分析し、曲線族の期待される次元と関連付ける。
• クラスター理論を用いて特異性内の無限に近い点をモデル化し、関連するゼロ次元スキームを研究する。
• 変形理論的およびコホモロジー的技法を用いて、このようなゼロ次元スキームのヒルベルトスキームの不変性を証明する。
• P^2におけるゼロ次元スキームの理想層の高次コホモロジーに対する消滅定理を確立し、次元数え上げの議論に不可欠な役割を果たす。
• これらの結果を応用して、固定された特異性を持つ平面曲線族のT-滑らかさおよび不変性の十分条件を導出する。
• キャステルヌオヴォ関数を用いて、既存の基準を精緻化・一般化し、定数倍の範囲で漸近的に最適であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r個の与えられたタイプの特異性を持つ平面曲線族がT-滑らか（期待される次元で滑らか）であるための条件は何か！
• RQ2 キャステルヌオヴォ関数は、特異平面曲線族の次元および滑らかさをどのように特徴づけることができるか？
• RQ3 無限に近い点のクラスターに関連するゼロ次元スキームのヒルベルトスキームが不変であるための条件は何か？
• RQ4 P^2におけるゼロ次元スキームの理想層に対して成立する消滅定理は何か？そしてそれらは曲線族とどのように関係するか？
• RQ5 導出された新しい不変量および条件は、曲線族のT-滑らかさに対して漸近的に最適であると言えるか？

主な発見

• キャステルヌオヴォ関数が特異性の新たな不変量として導入され、曲線族の次元の精密な解析が可能になった。
• 無限に近い点のクラスターに関連するゼロ次元スキームのヒルベルトスキームが不変であることが証明された。
• P^2におけるゼロ次元スキームの理想層の高次コホモロジーに対する新しい消滅定理が確立された。
• 固定された特異性を持つ平面曲線族のT-滑らかさのための十分条件が導出され、キャステルヌオヴォ関数を含むものであり、漸近的に最適であると予想されている。
• 族が不変であるが、補集合の基本群がすべての曲線でアーベル的で同一であるような、カスプ曲線の例が構成された。
• 本研究の結果は、スキーム論的およびコホモロジー的技法を用いた、特異平面曲線のモジュライの体系的枠組みを提供する。