[논문 리뷰] Categories enriched over a quantaloid: Isbell adjunctions and Kan adjunctions

Lili Sheng, Dexue Zhang|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 소량의 양자알로드 Q에 대해 충실한 카테고리화된 카테고리로의 Isbell 수반과 칸 확장의 일반화를 제시한다. 각 Q-분배자 φ : A −◦−→B는 두 개의 수반—Isbell과 칸—을 유도하며, 이는 예비층 카테고리 위의 모나드를 유도한다. 이 구성들은 infomorphism을 통해 함자적이며, 자유 코완전화 함자 P는 양쪽 구성으로 분해되며, 고전적 범주론을 양자알로드-충실한 설정으로 확장하여 폐쇄 공간과 완전 Q-카테고리에의 적용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Each distributor between categories enriched over a small quantaloid Q gives rise to two adjunctions between the categories of contravariant and covariant presheaves, and hence to two monads. These two adjunctions are respectively generalizations of Isbell adjunctions and Kan extensions in category theory. It is proved that these two processes are functorial with infomorphisms playing as morphisms between distributors; and that the free cocompletion functor of Q-categories factors through both of these functors.

연구 동기 및 목표

• Q에 대해 충실한 카테고리로의 Isbell 수반과 칸 확장을 일반화하는 것.
• Q-분배자에 의해 유도되는 두 수반—Isbell과 칸—을 정의하고 연구하는 것.
• 분배자 간의 infomorphism을 이용한 이러한 구성의 함자성 수립.
• Q-카테고리의 자유 코완전화 함자 P가 Isbell 및 칸 구성 양쪽 모두를 통과함을 보이는 것.
• 분배자로부터 유도되는 폐쇄 연산자의 고정점으로서 완전 Q-카테고리의 표현을 조사하는 것.

제안 방법

• Q-카테고리 A −◦−→B 사이의 Q-분배자 φ : A −◦−→B를 도입하고, 두 수반 φ↑⊣φ↓: PA ⇀P†B (Isbell) 및 φ∗⊣φ∗: PB ⇀PA (Kan)를 정의한다.
• Q-카테고리에서의 양자와 공양자 포함을 사용하여 고전적 Isbell 쌍대성을 일반화한다.
• 합성과 쌍대성와의 호환 조건을 만족하는 쌍 (F, G)으로서 Q-분배자 간의 infomorphism을 정의한다.
• PA 위의 모나드 φ↓◦φ↑ 및 PB 위의 모나드 φ∗◦φ∗를 구성하며, 이를 A와 B 위의 폐쇄 연산자로 해석한다.
• 이 모나드의 고정점은 각각 완전 Q-카테고리 M(φ)와 K(φ)를 이룬다.
• 구성의 함자성에 기반하여 자유 코완전화 함자 P가 M과 K를 모두 통과함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Isbell 수반과 칸 확장을 소량의 양자알로드 Q에 대해 충실한 카테고리로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 Isbell 및 칸 수반의 구성은 Q-분배자 간의 infomorphism에 대해 함자적인가?
• RQ3 Q-카테고리의 자유 코완전화 함자 P는 Isbell 및 칸 구성 모두를 통과하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 모든 완전 Q-카테고리는 어떤 Q-분배자 φ에 대해 K(φ)로 표현될 수 있는가?
• RQ5 쌍대화 가족과 Girard 양자알로드는 완전 Q-카테고리의 대칭적 표현을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 각 Q-분배자 φ : A −◦−→B는 두 수반 φ↑⊣φ↓ (Isbell) 및 φ∗⊣φ∗ (Kan)을 유도하며, 고전적 구성의 일반화이다.
• φ ↦ (A, φ↓◦φ↑)의 대응은 Q-분배자와 infomorphism의 카테고리에서 Q-폐쇄 공간으로의 함자이다.
• φ ↦ (B, φ∗◦φ∗)의 대응은 Q-폐쇄 공간으로의 반함자적 함자이다.
• φ↓◦φ↑의 고정점은 완전 Q-카테고리 M(φ)를 이루며, φ∗◦φ∗의 고정점은 완전 Q-카테고리 K(φ)를 이룬다.
• 자유 코완전화 함자 P는 M과 K를 모두 통과함을 보이며, 이는 그들의 보편성을 보여준다.
• Girard 양자알로드의 경우, 모든 스케일링 완전 Q-카테고리는 이중성과 부정 함자 ¬를 통해 어떤 Q-분배자 φ에 대해 K(φ)와 동형이다.