[論文レビュー] Categories for the practising physicist

Bob Coecke, Eric Paquette|ArXiv.org|May 19, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 57被引用数 36

ひとこと要約

この論文は、理論物理学のための統一的枠組みとして圏論を導入し、特に有限次元ヒルベルト空間の圏 FdHilb、集合と関係の圏 Rel、多様体とコボルディズムの圏 2Cob を含むモノイダル圏——特にコンパクト閉構造——を用いて、図式的記法とコンパクト閉構造により物理的過程をモデル化することを強調する。これらの圏が内部コモノイドや圏的行列計算を共有するなど、構造的に深いつながりを有することを示し、トポロジカル量子場理論および量子論理の圏的基盤を提供する。

ABSTRACT

In this chapter we survey some particular topics in category theory in a somewhat unconventional manner. Our main focus will be on monoidal categories, mostly symmetric ones, for which we propose a physical interpretation. These are particularly relevant for quantum foundations and for quantum informatics. Special attention is given to the category which has finite dimensional Hilbert spaces as objects, linear maps as morphisms, and the tensor product as its monoidal structure (FdHilb). We also provide a detailed discussion of the category which has sets as objects, relations as morphisms, and the cartesian product as its monoidal structure (Rel), and thirdly, categories with manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms (2Cob). While sets, Hilbert spaces and manifolds do not share any non-trivial common structure, these three categories are in fact structurally very similar. Shared features are diagrammatic calculus, compact closed structure and particular kinds of internal comonoids which play an important role in each of them. The categories FdHilb and Rel moreover admit a categorical matrix calculus. Together these features guide us towards topological quantum field theories. We also discuss posetal categories, how group representations are in fact categorical constructs, and what strictification and coherence of monoidal categories is all about. In our attempt to complement the existing literature we omitted some very basic topics. For these we refer the reader to other available sources.

研究の動機と目的

• モノイダル圏およびコンパクト閉圏に焦点を当て、物理学的視点からの圏論の入門を提供すること。
• 数学的起源が異なる FdHilb（有限次元ヒルベルト空間）、Rel（集合と関係）、2Cob（多様体とコボルディズム）の間の構造的類似性を示すこと。
• 図式的記法、コンパクト閉性、内部コモノイドといった共通の特徴が、物理的過程の統一的圏的枠組みを支えることの確立。
• ガロア随伴とコモノイドを用いて、圏論的構成と量子論理、量子測定を結びつけること。
• 物理および計算におけるプロセスの変更と合成のモデル化に、高次元圏を用いる動機を提示すること。

提案手法

• 食材（食品の種類）を対象、調理工程（調理プロセス）を準同型、合成（直列的および並列的処理）を例えで導入する。
• テンソル積（例：$A imes D$ で同時に処理を表す）によるモノイダル構造を導入し、$(f oxtimes h) oxtimes (g oxtimes k) = (f oxtimes g) oxtimes (h oxtimes k)$ などの公理を提示する。
• 図式的記法を用いてプロセスとその合成を表現し、FdHilb、Rel、2Cob における視覚的推論を可能にする。
• 双対性と評価／コ評価写像を用いて、コンパクト閉構造を定義し、図式における「ワイヤーの曲げ」を可能にする。
• FdHilb および Rel に圏的行列計算を適用し、線形代数と関係代数を圏論に結びつける。
• ポゼタル圏を介して、ガロア随伴を用いて最弱事前条件と量子含意をモデル化し、論理と圏論を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FdHilb、Rel、2Cob のようなモノイダル圏は、数学的基盤が異なるにもかかわらず、どのように構造的に統一できるか？
• RQ2 内部コモノイドとコンパクト閉性は、物理的および計算的プロセスのモデル化において、どのような役割を果たすか？
• RQ3 コンパクト閉圏における図式的記法は、量子プロセスおよびトポロジカル量子場理論の推論をどのように支援するか？
• RQ4 ガロア随伴とコモノイドは、どのように量子論理および測定の圏的基盤を提供するか？
• RQ5 高次元圏は、物理学および計算におけるプロセスの合成と変更のモデル化をどのように拡張するか？

主な発見

• FdHilb、Rel、2Cob はすべて図式的記法とコンパクト閉構造を備えており、プロセスに関する視覚的推論を可能にする。
• 恒等式 $(g oxtimes k) oxtimes (f oxtimes h) = (g oxtimes f) oxtimes (k oxtimes h)$ が普遍的に成り立ち、モノイダル圏の交換則を反映している。
• 圏的行列計算は FdHilb および Rel で実現可能であり、線形代数と関係代数が圏論と結びつく。
• 量子論理の正規化法則は、射影とササキフックの間のガロア随伴として現れ、量子含意を形式化する。
• コモノイドは、状態が新たな状態と古典的データに分割される量子測定のコアルゲブラ的構造をモデル化する。
• 随伴函手の合成はモノイドまたはコモノイドを形成し、閉包作用素（例：線形包）はそれらのポゼタル版として対応する。