[논문 리뷰] Categories of Optics

Mitchell Riley|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 03.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 16인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 범주에서 이차적 자료 액세스 기반의 광학—렌즈, 프리즘, 트래버설 및 관련 이중 방향 액세서—의 범주론적 기초를 정형화한다. 대칭 모나드 범주에서 일반 광학 구축을 정의함으로써, 쌍대형 사상들을 자유롭게 추가하는 보편적 함자를 도입하고, 그 법칙성 정의와 평소의 프로파인더 법칙 간의 동치성을 증명하며, 다양한 수학적 및 프로그래밍적 맥락에 적용 가능한 엄밀하고 일반적인 법칙성 광학 프레임워크를 구축한다.

ABSTRACT

Bidirectional data accessors such as lenses, prisms and traversals are all instances of the same general 'optic' construction. We give a careful account of this construction and show that it extends to a functor from the category of symmetric monoidal categories to itself. We also show that this construction enjoys a universal property: it freely adds counit morphisms to a symmetric monoidal category. Missing in the folklore is a general definition of 'lawfulness' that applies directly to any optic category. We provide such a definition and show that it is equivalent to the folklore profunctor optic laws.

연구 동기 및 목표

• 임의의 대칭 모나드 범주에서 렌즈, 프리즘, 트래버설을 통합하는 엄밀하고 일반적인 범주론적 광학 정의를 제공하는 것.
• 광학 구축이 대칭 모나드 범주에서 자신에게로의 함자로 확장됨을 확립하는 것.
• 이중화 가능한 사상의 범주에 쌍대형 사상을 자유롭게 추가하는 광학 구축의 보편 성질을 정의하는 것.
• 기존 사례에 정확히 특수화되며, 새로운 광학 유형에 대한 법칙 유도를 가능하게 하는 광학의 일반적 '법칙성' 정의를 도입하는 것.
• 제안된 법칙성 정의와 기능적 프로그래밍에서 사용되는 평소의 프로파인더 인코딩 법칙 간의 동치성을 증명하는 것.

제안 방법

• 공엔드 공식과 콤마 범주를 사용하여 대칭 모나드 범주에서 광학을 정의함으로써, 렌즈와 같은 구체적 광학을 일반화하는 것.
• 공엔드 미적분과 요나다 감소를 적용하여 보편 성질과 동치관계를 도출하고, 특히 프로파인더 인코딩에 대해 분석하는 것.
• 그로텐디크 구축과 슬라이스 범주를 포함하는 수반 관계에서 유도된 코모나드에 대한 코알제브라를 통한 법칙성의 새로운 정의를 도입하는 것.
• 니나 요나다 보조정리와 공엔드 동치관계 구축을 사용하여, 구체적 인코딩과 프로파인더 인코딩 간의 동치관계를 검증하는 것.
• 광학 구축이 SymmMonCat에서 SymmMonCat로의 함자임을 증명하고, 범주 간의 구조를 유지하는 것.
• 제안된 법칙성 조건이 하스켈의 lens 라이브러리에서 사용되는 표준 프로파인더 법칙과 일치함을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 대칭 모나드 범주에서 렌즈, 프리즘, 기타 광학을 통합하는 균일한 범주론적 프레임워크를 구축할 수 있는가?
• RQ2 광학 구축은 어떤 보편 성질을 만족하며, 쌍대형 사상을 추가하는 것과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 렌즈와 프리즘에 대한 기존 법칙에 정확히 특수화되는 광학의 일반적 '법칙성' 정의가 존재하는가?
• RQ4 평소의 프로파인더 인코딩 법칙은 제안된 범주론적 법칙성 정의와 동치인가?
• RQ5 이 프레임워크는 구성적 게임 이론이나 모나드 변환기와 같은 새로운 맥락으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 광학 구축은 대칭 모나드 범주의 범주에서 자신에게로의 함자로 구성되며, 이중 방향 액세서의 개념을 일반화한다.
• 광학 구축은 보편 성질을 만족한다: 이는 이중화 가능한 사상의 범주에 쌍대형 사상을 자유롭게 추가한다.
• 광학의 법칙성에 대한 새로운 일반 정의를 제안하고, 기존의 평소 프로파인더 인코딩 법칙과 동치임을 증명한다.
• 구축은 기존 광학에 정확히 특수화된다: 법칙적인 렌즈, 프리즘, 트래버설은 모두 동일한 일반 광학 범주에 속하는 사례이다.
• 프로파인더 인코딩은 구체적 인코딩과 동치이며, 제안된 법칙성 조건은 기능적 프로그래밍에서 사용되는 표준 법칙과 일치한다.
• 이 프레임워크는 통합된 범주론적 렌즈를 통해 확률론적 게임 이론이나 모나드 변환기 스택과 같은 새로운 영역으로의 광학 확장을 위한 기반을 제공한다.