[論文レビュー] Categories with norms

Wiesław Kubiś|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3つの公理を満たす矢印上の非負関数を備えた圏、すなわち「ノルム付き圏」を導入する。その公理とは、恒等射のノルムが0であること、合成に関して三角不等式が成り立つこと、および同型写像に関して対称性を保証する逆不等式である。ノルム付き圏は距離空間とリプシッツ写像を一般化し、コーシー列と完備化を確立し、バナッハの不動点定理の圏論的版を証明する。有限ノルムを持つ矢印が存在する場合、収縮関手による不動点の存在を示す。

ABSTRACT

We study a metric-like structure on categories, showing that the concept of the limit of a sequence in a metric space and the concept of the colimit of a sequence in a category have a common generalization. The main concept is a norm on a category, generalizing pseudo-metrics and group valuations. In this new context, we discuss topics like Cauchy completion and the Banach Contraction Principle.

研究の動機と目的

• 圏における矢印へのノルムの定義により、距離空間と擬距離を一般化すること。
• ノルム付き圏におけるコーシー列を通じて、距離空間の収束と圏論的余極限の概念を統一すること。
• バナッハの不動点定理をノルム付き圏の文脈に拡張し、収縮関手による不動点の存在を証明すること。
• 距離豊富圏における連続的Fraïssé極限および普遍的均一的対象を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 圏 K におけるノルム μ を、μ: K → [0, ∞] で定義し、μ(id_x) = 0、μ(f∘g) ≤ μ(f) + μ(g)、および可換な矢印に対して μ(g) ≤ μ(f∘g) + μ(f) を満たすものとする。
• ノルム付き圏は距離空間を一般化しており、圏がすべてのペアが関係する順序付き集合（poset）である場合には、対称的擬距離が得られることを示す。
• コーシー列が収束するような、より大きなノルム付き圏としてのコーシー完備化を構成する。収束条件を満たす余極限に収束する。
• コーシー完備なノルム付き圏上で、逐次連続な収縮関手 F が、ノルムが有限である矢印 f: a → F(a) を持つならば、不動点が存在することを証明する。
• 幾何級数 ∑r^n (r < 1) の収束を用いて、反復関手 F^n(f) の列がコーシー列であることを示し、したがって完備化において収束することを示す。
• ノルム条件 (N3) が、例えば同型写像 h に対して μ(h) = μ(h⁻¹) となるように、ノルムの同型写像不変性を保証することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬距離の圏への一般化を通じて、距離的収束と圏論的余極限の概念を統合できるか？
• RQ2 ノルム付き圏の文脈において、バナッハの不動点定理をどのように再定式化・一般化できるか？
• RQ3 ノルム付き圏における関手の不動点が存在するための条件は何か？また、一意性はいつ保証されるか？
• RQ4 離散的ノルムが、距離空間とは対照的に、圏において非自明な構造を生じる仕組みは何か？
• RQ5 リプシッツ写像を伴う距離空間の圏におけるノルム μ(f) = log(max(Lip(f), Lip(f⁻¹))) は、幾何的歪みをどのように捉えているか？

主な発見

• ノルム公理 (N1)–(N3) は、擬距離および群の値関数を一般化し、合成および同型写像に関して安定している。
• 任意の距離空間は、矢印のノルムがそのドメインとコドメイン間の距離に等しくなるノルム付き圏に埋め込める。
• リプシッツ写像を伴う距離空間の圏には、自然なノルム μ(f) = log(max(Lip(f), Lip(f⁻¹))) が定義され、f が双リプシッツでない場合には μ(f) = ∞ となる。
• ノルム付き圏におけるコーシー列とは、自然数の順序集合 ω から関手であり、余極限ココーン内の矢印のノルムの列が収束するものである。
• ノルム付き圏のコーシー完備化は、元の類似距離構造の完備化の完全部分圏として構成され、すべてのコーシー列が収束することが保証される。
• コーシー完備なノルム付き圏上で逐次連続な収縮関手 F が、ノルムが有限である矢印 f: a → F(a) を持つならば、不動点が存在するが、一般には一意性は保証されない。