[論文レビュー] Categorification and Dynamics in Generalised Braid Groups

Edmund Heng|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、カテゴリー化されたバウア表現を介して、三角的圏の自己同値として実現することで、ランク2の一般化ブレイド群に対してニールセン＝トゥルースン分類の圏論的類似を確立する。カテゴリー的エントロピー（質量成長）を用いて、群の元を可約、周期的、擬楕円的タイプにアルゴリズム的に分類し、擬楕円的成長はランク2行列から計算可能である。

ABSTRACT

Recent developments in the theory of stability conditions and its relation to Teichmuller theory have revealed a deep connection between triangulated categories and surfaces. Motivated by this, we prove a categorical analogue of the Nielsen-Thurston classification theorem for the rank two generalised braid groups by viewing them as (sub)groups of autoequivalences of certain triangulated categories. This can be seen as a categorical generalisation of the classification known for the type $A$ braid groups when viewed as mapping class groups of the punctured discs. Firstly, we realise the generalised braid groups as groups of autoequivalences through categorical actions that categorify the corresponding Burau representations. These categorifications are achieved by constructing certain algebra objects in the tensor categories associated to the quantum group $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, generalising the construction of zigzag algebras used in the categorical actions of simply-laced-type braid groups to include the non-simply-laced-types. By viewing the elements of the generalised braid groups as autoequivalences of triangulated categories, we study their dynamics through mass growth (categorical entropy), as introduced by Dimitrov--Haiden--Katzarkov--Kontsevich. Our classification is then achieved in a similar fashion to Bestvina-Handel's approach to the Nielsen-Thurston classification for mapping class groups. Namely, our classification can be effectively decided through a given algorithm that also computes the mass growth of the group elements. Moreover, it shows that the mass growth of the pseudo-Anosov elements are computable from certain rank two matrices. This is the author's PhD thesis.

研究の動機と目的

• カテゴリー的ダイナミクスを用いて、一般化ブレイド群へのニールセン＝トゥルースン分類の拡張を図ること。
• カテゴリー化されたバウア表現を介して、一般化ブレイド群を三角的圏の自己同値群として実現すること。
• カテゴリー的エントロピー（質量成長）に基づく、群の元の分類の計算可能な枠組みを構築すること。
• 量子群Uq(sl2)の代数的対象を用いて、非単純型へのズイツァルグ代数の構成を一般化すること。
• 群の元の動的型を決定するアルゴリズム的手順を確立すること。

提案手法

• Uq(sl2)に関連するテンソル圏の代数的対象を用いて、一般化ブレイド群のバウア表現をカテゴリー化すること。
• カテゴリー的作用を介して、一般化ブレイド群を三角的圏における自己同値群として実現すること。
• Dimitrovたによって導入されたカテゴリー的エントロピー（質量成長）の概念を用いて、ダイナミカルな複雑さを測定すること。
• ブリッジランド安定性条件と弱いHN分解を用いて、自己同値の構造を分析すること。
• 八面体的フリップと内側の三角形の可直線性を活用して、三角的圏における測地的分解を決定すること。
• 安定性条件のデータとランク2部分行列からの不変量を基にしたアルゴリズム的分類を構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニールセン＝トゥルースン分類は、圏論的枠組みにおいて一般化ブレイド群へ拡張可能か？
• RQ2 一般化ブレイド群の元のダイナミクスは、カテゴリー的エントロピーによってどのように測定可能か？
• RQ3 安定性条件とHN分解は、三角的圏の自己同値の分類において果たす役割は何か？
• RQ4 ランク2行列は、この文脈における擬楕円的元の質量成長をどのように符号化するか？
• RQ5 任意の与えられた群の元の動的型を決定するアルゴリズム的手順は存在するか？

主な発見

• 本稿は、カテゴリー的エントロピーを用いて、ランク2の一般化ブレイド群の元を可約、周期的、擬楕円的タイプに完全にアルゴリズム的に分類する。
• 擬楕円的元は、自己同値作用から導かれるランク2行列によって決定される計算可能な質量成長を示す。
• フィルトレーション多角形の測地的性質は、八面体的フリップに関して不変であり、三角的圏の構造的解析を可能にする。
• 特定のホモロジー複体の消滅と安定性条件の整合性を用いて、測地的分解の十分条件を確立した。
• Uq(sl2)関連のテンソル圏における代数的対象を用いて、ズイツァルグ代数の構成を非単純型へ一般化した。
• 本手法により、すべての群の元についてカテゴリー的エントロピー（質量成長）を効果的に計算可能であり、特に擬楕円的ケースに対して明示的な公式が得られた。