[論文レビュー] Categorification of some level two representations of sl(n)

Ruth Stella Huerfano, Mikhail Khovanov|ArXiv.org|Apr 28, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、$ \mathfrak{sl}_n $ の最高ウェイト $ 2\omega_k $ のレベル2表現 $ V $ を、graded ring $ H^m $ を用いて categorify する。$ H^m $-mod の graded $ H^m $-modules からなる圏 $ \mathcal{C} $ を構成し、その Grothendieck 群が $ V $ を実現する。主な結果は、$ \mathcal{C} $ 内の indecomposable projective モジュールが $ V $ の canonical basis を categorify することであり、functor $ \mathcal{E}_i $, $ \mathcal{F}_i $ が $ \mathfrak{sl}_n $-作用を実現し、braid group の作用が derived category に lift されることである。

ABSTRACT

We categorify representations of quantum sl(n) whose highest weight is twice a fundamental weight.

研究の動機と目的

• $ \mathfrak{sl}_n $ の最高ウェイト $ 2\omega_k $ の既約表現 $ V $ を、$ S^2(\Lambda^k W) $ の直和成分として構成すること。
• 圏 $ \mathcal{C} $ の graded $ H^m $-modules 上で、$ \mathfrak{sl}_n $ の生成子 $ E_i, F_i $ の作用を exact functor $ \mathcal{E}_i, \mathcal{F}_i $ で実現すること。
• Grothendieck 群 $ \mathcal{C} $ に canonical basis を lift することにより、indecomposable projective モジュールが canonical basis ベクトルに対応することを示すこと。
• 圏 $ \mathcal{C} $ の derived category において braid group の作用を拡張し、レベル2表現の Green の平面図式計算を一般化すること。

提案手法

• admissible weight sequence $ \lambda $ の 1 の個数の半分 $ m = m(\lambda) $ に対し、ring $ H^m $ を定義し、$ H^m $-modules が形成する圏 $ \mathcal{C} $ を構成する。
• $ \mathcal{C} $ 上に exact functor $ \mathcal{E}_i, \mathcal{F}_i $ を構成し、$ K(\mathcal{C}) \cong V $ 上での $ \mathfrak{sl}_n $-作用を誘導する。grading shift が quantum group 構造を符号化する。
• $ \mathcal{C} $ 上の contravariant duality functor $ \Psi $ を用いて $ V $ 上の canonical form を実現し、$ \Psi $ が indecomposable projective を保存し、$ K(\mathcal{C}) $ 上に $ \psi_V $ を誘導することを示す。
• $ \mathcal{C} $ の derived category $ \mathcal{D} $ 上に functor $ \Sigma_i $ を定義し、complex of functors として braid group の作用をモデル化する。$ (\lambda_i, \lambda_{i+1}) = (1,1) $ のとき、$ \Sigma_i $ は $ \mathcal{Y}_\lambda[x]\{x\} $ または 2-term complex と同型である。
• Lusztig の定理を用い、$ \mathcal{C} $ に canonical basis を lift するために、indecomposable balanced projective モジュール $ Q_{\lambda,a} $ の類 $ [Q_{\lambda,a}] $ が $ \Psi $ で固定されることを示す。
• $ K(\mathcal{C}) $ が $ U_q(\mathfrak{sl}_n) $-module として $ V $ と同型であり、grading shift が $ q $ の乗法に対応することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル2の $ \mathfrak{sl}_n $ 表現 $ V $（最高ウェイト $ 2\omega_k $）を、$ H^m $ の族を用いてどのように categorify できるか。
• RQ2 $ H^m $-modules の Grothendieck 群が $ V $ の weight 空間をどのように実現するか。また、grading は量子群構造をどのように lift するか。
• RQ3 $ \mathcal{C} $ 内の functor $ \mathcal{E}_i $ と $ \mathcal{F}_i $ は、$ V $ 上での $ \mathfrak{sl}_n $-作用をどのように categorify するか。
• RQ4 $ V $ の canonical basis を $ \mathcal{C} $ の Grothendieck 群の基底に lift できるか。その場合、どの対象を介して実現されるか。
• RQ5 divided power を含む式で与えられる $ V $ 上の braid group の作用は、$ \mathcal{C} $ の derived category においてどのようにカテゴリカルに実現されるか。

主な発見

• $ \mathcal{C} $ の Grothendieck 群は $ V $ と同型であり、grading shift が $ q $ の乗法に対応するため、$ V $ が $ U_q(\mathfrak{sl}_n) $-module として実現される。
• $ \mathcal{C} $ 内の functor $ \mathcal{E}_i $ と $ \mathcal{F}_i $ は、$ K(\mathcal{C}) \cong V $ 上で $ E_i $ と $ F_i $ の作用を誘導する。$ \mathcal{E}_i $ と $ \mathcal{F}_i $ は、grading shift を除いて左・右両方の随伴を持つ。
• $ V $ 上の contravariant symmetric bilinear form は、$ \mathcal{C} $ 内の projective モジュール間の Hom 空間の次元として実現され、duality functor $ \Psi $ は $ K(\mathcal{C}) $ 上に $ \psi_V $ を誘導する。
• $ \mathcal{C} $ 内の indecomposable projective モジュール $ Q_{\lambda,a} $ は、その類が $ \Psi $ で固定されるため、$ V $ の canonical basis ベクトルに対応し、その canonical 性が確認される。
• $ \mathcal{C} $ の derived category $ \mathcal{D} $ において、$ V $ 上の braid group の作用が lift され、functor $ \Sigma_i $ は braid relation を満たす関手の complex としてモデル化され、$ K(\mathcal{C}) $ 上の braid group 演算子に下降する。
• $ V_\lambda $ の次元は $ m $ 番目の Catalan 数 $ c_m = \frac{1}{m+1}\binom{2m}{m} $ に一致し、これは $ H^m $-mod の Grothendieck 群のランクに一致する。これにより、Catalan 数が $ \mathbb{Z}[q,q^{-1}] $-ランクとして categorified されたことが確認される。