[論文レビュー] Categorified Algebra and Quantum Mechanics

Jeffrey C. Morton|ArXiv.org|Jan 19, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、群oidsとモノイドを用いたカテゴライズド枠組みとしてのM-stuff型を導入し、量子調和振動子を組合せ論的にモデル化する。構造型をユニタリ群U(1)による位相を組み込む形に一般化することで、時間発展、内積、ファインマン図がカテゴリー的構造から自然に生じるカテゴリカルなフォック空間を構築し、高次元代数を通じて組合せ論と量子理論を統合する。

ABSTRACT

Interest in combinatorial interpretations of mathematical entities stems from the convenience of the concrete models they provide. Finding a bijective proof of a seemingly obscure identity can reveal unsuspected significance to it. Finding a combinatorial model for some mathematical entity is a particular instance of the process called ``categorification''. Examples include the interpretation of N as the Burnside rig of the category of finite sets with product and coproduct, and the interpretation of N[x] as the category of combinatorial species. This has interesting applications to quantum mechanics, and in particular the quantum harmonic oscillator, via Joyal's ``species'', a new generalization called ``stuff types'', and operators between these, which can be represented as rudimentary Feynman diagrams for the oscillator. In quantum mechanics, we want to represent states in an algebra over the complex numbers, and also want our Feynman diagrams to carry more structure than these ``stuff operators'' can do, and these turn out to be closely related. We will show how to construct a combinatorial model for the quantum harmonic oscillator in which the group of phases, U(1), plays a special role. We describe a general notion of ``M-Stuff Types'' for any monoid M, and see that the case M=U(1) provides an interpretation of time evolution in the combinatorial setting, as well as other quantum mechanical features of the harmonic oscillator.

研究の動機と目的

• 高次圏論を用いて、組合せ論的でカテゴライズドな量子力学のモデルを開発すること。
• 評価、合成、内積をサポートする「stuff型」に構造型を一般化すること。
• 時間発展とユニタリ対称性（U(1)）を、量子系のカテゴリー的枠組みに組み込むこと。
• ファインマン図の計算とカテゴリー的ファンクター、群oidsの濃度を統合すること。
• 物理的解釈を可能にするために、カテゴライズ化の概念をモノイド作用、特にU(1)を含む形に拡張すること。

提案手法

• 群oids値関手を用いて一般化された構造型を備えたstuff型の圏を用いて、量子調和振動子のフォック空間をカテゴライズ化する。
• 任意のモノイドMに対してM-stuff型を定義し、M = U(1)の場合は量子力学における位相因子と時間発展をモデル化する。
• 群oidsの濃度を用いてstuff型に数値を割り当て、生成関数を一般化する。
• 2圏における弱プッシュアウトを用いて内積を定義し、ヒルベルト空間の内積をカテゴライズ化する。
• 生成と消滅作用素をstuff型の圏間のファンクターとして表現し、ファインマン図をこれらのファンクターのストリング図として表現する。
• 群oidsの自由対称モノイド完備化と自由完備化を用いて、一般化された種の圏を生成する2-ラムの構成を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子調和振動子のフォック空間は、群oidsやファンクターといったカテゴリー的構造を用いてどのように再構築できるか？
• RQ2 量子力学における内積のカテゴリー的類似物は何か？ そして、プッシュアウトや弱プッシュアウトとどのように関係するか？
• RQ3 時間発展とユニタリ対称性は、組合せ論的でカテゴライズドな枠組みにどのように符号化できるか？
• RQ4 調和振動子のファインマン図は、stuff型と作用素の2圏の準同型として解釈できるか？
• RQ5 M = U(1)のときの構造型のM-stuff型への拡張は、量子力学の主要な特徴をどのように回復するか？

主な発見

• U(1)-stuff型の圏は、状態が群oids値ファンクターであり、内積が弱プッシュアウトから生じる組合せ論的フォック空間のモデルを提供する。
• 量子調和振動子における時間発展は、M-stuff型におけるU(1)の作用として自然にモデル化され、位相がモノイド構造に符号化される。
• 2つのstuff型の内積は弱プッシュアウトとしてカテゴライズ化され、フォック空間上の標準的内積が2圏的設定に一般化される。
• 調和振動子のファインマン図は、stuff作用素の合成を表すストリング図として現れ、振幅は群oidsの濃度によって計算される。
• この構成はより高いモノイドや群oidsへ一般化可能であり、マルチソート種や量子場理論への拡張を可能にする。
• ファンクターによる群oidsの自由完備化の間の圏として、一般化された種の2圏が確立され、組合せ論と量子代数を統合する。