[논문 리뷰] Causality of singular linear discrete time systems

Nicholas Apostolopoulos, Fernando Ortega외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 15.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 23인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 행렬 펜슬 이론을 사용하여 단일 선형 이산 시간 시스템과 그 분수계수 대응체에서 인과성에 대해 연구한다. Weierstrass 표준형을 통한 시스템 해의 구조 분석을 통해 상태 및 출력 인과성에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 수립하며, 인과성이 출력 행렬의 영공간 성질과 시스템 펜슬의 비정상 부분의 성질에 따라 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider two type of systems, a linear singular discrete time system and a linear singular fractional discrete time system whose coefficients are square constant matrices. By assuming that the input vector changes only at equally space sampling instants we investigate and provide properties for causality between state and inputs and causality between output and inputs.

연구 동기 및 목표

• 정수계수 정사각 행렬을 가진 선형 특이 이산 시간 시스템의 인과성 분석
• 내림자형 Riemann-Liouville 차분을 사용하여 특이 분수계수 이산 시간 시스템으로의 인과성 분석 확장
• 두 시스템 유형에 대한 상태 및 출력 인과성에 필요한 필수 조건과 충분 조건 도출
• 일致한 초기 조건이 유일하고 인과적인 해를 보장하는 데 기여하는 방식 기술
• 특히 비정상 및 유한 고유값 성분을 포함한 행렬 펜슬의 구조적 성질과 인과성의 연관성 규명

제안 방법

• 비특이 변환 P와 Q를 통해 시스템 행렬 쌍 (F, G)을 Weierstrass 표준형으로 분해하기 위해 행렬 펜슬 이론 활용
• Weierstrass 형식을 적용하여 J_p (Jordan 행렬)와 H_q (비정상 행렬)를 사용해 해를 유한 고유값 및 무한 고유값 성분으로 분리
• 이산 Mittag-Leffler 함수와 상승 계승 계수를 사용해 표준 및 분수계수 시스템의 명시적 해 공식 유도
• 일치한 초기 조건의 개념을 도입하고, 고유한 해 존재에 필수적임을 증명
• Y_k와 X_k가 과거 입력에 의존하는 방식을 분석함으로써 인과성 분석 수행, 특히 H_q^i P_2 V_{k+i} 항의 영향 고려
• 영공간 제약 조건을 통한 인과성 조건 설정: H_q P_2 B = 0 및 C[Q_q H_q^i P_2 B] = 0 (i = 1 to q*-1)

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 선형 이산 시간 시스템에서 상태가 과거 입력에 대해 인과적으로 의존하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 시스템의 행렬 펜슬 (F, G)의 구조는 상태 및 출력의 인과성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 특이 분수계수 이산 시간 시스템에서 출력 인과성에 필요한 필수 조건과 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 일치한 초기 조건은 인과적 해의 존재성과 유일성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비정상 성분 H_q는 특이 시스템에서 비인과적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 시스템 (1)에서 상태와 입력 간의 인과성이 성립하는 것은 유일한 행렬 B가 존재하여 V_k = BU_k 이고 H_q P_2 B = 0 인 경우에 한하여 성립한다.
• 출력과 입력 간의 인과성이 성립하는 것은 행렬 [Q_q H_q P_2 B, ..., Q_q H_q^{q*-1} P_2 B]의 각 열이 C의 우측 영공간에 포함되어 있을 때에만 성립한다.
• 분수계수 시스템 (2)에서는 ∇_0^{in} H_q^i P_2 V_k 항의 구조로 인해 과거 입력에 대해 해가 인과적으로 의존한다.
• 시스템 (2)의 해는 펜슬 sF - G의 모든 유한 고유값이 열린 단위 원판 |s| < 1 내부에 있을 경우 존재하고 유일하다.
• 두 시스템의 유일한 해는 일치한 초기 조건과 과거 입력에 의해 완전히 결정되며, 상태 및 출력은 Weierstrass 분해를 통해 명시적으로 표현된다.
• 이산 Mittag-Leffler 함수 F_{n,n}(J_p (k+n)^{ar{n}})는 분수계수 시스템의 인과적 행동을 특성화하는 데 핵심적인 역할을 한다.