[論文レビュー] Cellular Automata Using Infinite Computations

Louis D’Alotto|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Cellular Automata and Applications参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ヤロスラブ・セルゲエフの無限単位公理（grossone）を用いた、1次元セルオートマトンのための新しい測度を導入し、無限配置の正確な計算を可能にする。古典的な極限をgrossoneに基づく算術に置き換えることで、前向きダイナミクスにおいて近接を保つ配置の数を定量化し、従来の測度の不正確さを解消するとともに、開円板や同値類 $B_{m,n}(x)$ の点の正確な数え上げを可能にする。

ABSTRACT

This paper presents an application of the Infinite Unit Axiom, introduced by Yaroslav Sergeyev, (see [11] - [14]) to the development of one-dimensional cellular automata. This application allows the establishment of a new and more precise metric on the space of definition for one-dimensional cellular automata, whereby accuracy of computations is increased. Using this new metric, open disks are defined and the number of points in each disk is computed. The forward dynamics of a cellular automaton map are also studied via defined equivalence classes. Using the Infinite Unit Axiom, the number of configurations that stay close to a given configuration under the shift automaton map can now be computed.

研究の動機と目的

• 片側無限に及ぶ列の間の無限の一致を捉えられない古典的測度の限界を克服すること。
• セルオートマトンで用いられる双方向無限列の空間 $S^{\mathbb{Z}}$ のより正確な測度を開発すること。
• セルオートマトン写像の前向き反復において、特定の配置に近接を保つ配置の数を正確に計算できること。
• grossone算術を用いて同値類 $B_{m,n}(x)$ のサイズを定量化することで、セルオートマトンダイナミクスの分類を拡張すること。
• 極限に置き換える代わりにgrossoneに基づく表現を用いることで、無限和の計算誤差を解消すること、例えば $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ となる。

提案手法

• 自然数の個数を有限ではあるが無限の量として表すために、無限単位公理を採用し、$|\mathbb{N}| = \hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}$ を定義する。
• 収束の問題を回避し正確な計算を可能にするために、古典的無限和をgrossoneに基づく表現に置き換える。例えば $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ となる。
• 非アーケメデス的測度 $d(x,y) = 2^{-n}$ を定義し、$n = \inf\{|i| : x(i) \neq y(i)\}$ とし、片側区間における無限の一致に対応するように拡張する。
• 開円板 $C_{[m,n]}(x)$ を導入し、grossoneを用いて $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} - (n - m)}$ としてその濃度を計算する。
• 同値類 $B_{m,n}(x) = \{y \mid d(f^i(y), f^i(x)) < 2^{-|n+1-m|} \; \forall i\}$ を定義し、前向き反復において近接を保つ配置を表す。
• 左シフト写像と右シフト写像にこの枠組みを適用し、grossone算術を用いて $|B_{m,n}(x)| \leq |S|^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} + 1$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側区間（例えば右または左に無限に）一致する配置を捉えることができる、$S^{\mathbb{Z}}$ 上の測度をどのように定義できるか？
• RQ2 セルオートマトン写像の前向き反復において、基準配置から与えられた距離内に留まる配置の正確な数は何か？
• RQ3 古典的な無限の扱い方の限界（すべての無限の不一致を同様に扱う）を、新しい計算枠組みによって克服できるか？
• RQ4 grossone ($\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}$) の使用が、セルオートマトンにおける無限和の計算精度をどのように向上させるか？
• RQ5 grossoneに基づく測度を用いた場合、シフト写像において与えられた配置に近接を保つ配置の集合の濃度は何か？

主な発見

• 空間 $S^{\mathbb{Z}}$ の濃度は $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} + 1}$ であり、インデックス0の両側の配置をgrossoneを用いて数えることで導出される。
• 開円板 $C_{[m,n]}(x)$ には正確に $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} - (n - m)}$ 個の要素が含まれ、古典的測度が非可算無限を返すのに対し、ここでは有限かつ正確な数え上げが可能である。
• 左シフト写像 $\sigma$ に対して、同値類 $B_{m,n}(x)$ には最大で $|S|^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} + 1$ 個の要素が含まれる。これはgrossone算術によって可能になった正確な数え上げである。
• 無限和 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ は1よりわずかに小さい無限小であり、古典的極限の曖昧さを解消する。
• grossoneを用いた測度 $d(x,y) = 2^{-n}$ により、非アーケメデス的構造が得られ、無限にまで一致する場合でも、最初の不一致点に基づいて配置を区別できる。
• この枠組みにより、前向き反復において初期配置に近接を保つ配置の数を定量化することで、ダイナミクスの正確な計算が可能となり、従来の無限の扱いの限界を克服した。