[論文レビュー] Central limit theorems for Hilbert-space valued random fields satisfying a strong mixing condition

Cristina Tone|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Probability and Risk Models参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ベルンシュタインのブロッキング技法とタイトネスの議論を用いて、$ρ'$-混合条件の下でヒルバート空間値の厳密に定 stationa ry ランダムフィールドに対して中心極限定理を確立する。主な結果は、正規化された部分和がヒルバート空間内でのガウス型確率的要素へ弱収束することを示しており、従来のCLTを強い混合依存性を示す無限次元過程へ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic normality of the normalized partial sum of a Hilbert-space valued strictly stationary random field satisfying the interlaced $ρ'$-mixing condition.

研究の動機と目的

• $ρ'$-混合条件の下でヒルバート空間値のランダムフィールドに対する中心極限定理を拡張すること。
• 強定常ランダムフィールドの$ρ'$-混合依存性の下で漸近正規性を確立すること。
• 正規化された部分和が分離可能なヒルバート空間内でのガウス型確率的要素へ弱収束することを証明すること。
• 座標ごとの収束と一様可積分性を用いて、有限次元分布のタイトネスを検証すること。
• 共分散作用素と正規直交基底の分解を用いて、有限次元CLTを無限次元ヒルバート空間設定へ一般化すること。

提案手法

• 依存性を制御できるように、和をブロックに分解するベルンシュタインのブロッキング技法を適用する。
• $ρ'$-混合条件を用い、インデックス集合内の遠く離れた集合間の最大相関を定義することで、依存性を制御する。
• ヒルバート空間値の確率的変数の正規直交基底表現を用いて、問題を座標ごとの解析に還元する。
• 正規化された和の系列のタイトネスを、$\sum_{i=N}^\infty E|X_{0i}|^2 \to 0$（$N \to \infty$）による尾部分散の均等な減衰を示すことによって確立する。
• 特性関数の議論と共分散行列の収束を用いて、有限次元収束を証明する。
• 有限次元分布をガウス型極限に一致させることで、ヒルバート空間全体における弱収束に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間値の厳密に定常なランダムフィールドが$ρ'$-混合条件を満たす場合、中心極限定理が成り立つか。
• RQ2 正規化された和の有限次元分布の収束を、ヒルバート空間内での弱収束に拡張できるか。
• RQ3 $ρ'$-混合条件の下で、正規化された部分和の族がヒルバート空間内でタイトであるか。
• RQ4 極限ガウス型要素の共分散作用素は、元のフィールドの依存構造とどのように関係するか。
• RQ5 ブロッキング技法を、強い混合性を持つ無限次元の依存的ランダムフィールドに適応できるか。

主な発見

• 正規化された和$S(X,L)/\sqrt{L_1 \cdots L_d}$は、$\min\{L_1,\dots,L_d\} \to \infty$の下で、ヒルバート空間内での中心化されたガウス型確率的要素へ弱収束する。
• 極限ガウス型要素の共分散作用素は、元のフィールドの共分散構造により定義され、成分$\sigma_{ij} = E[X_{0i}X_{0j}]$を有する。
• タイトネスは、$\sup_L E\left[\sum_{i=N}^\infty \left\langle S_L / \sqrt{L_1 \cdots L_d}, e_i \right\rangle^2 \right] \to 0$（$N \to \infty$）を示すことによって確立される。
• 有限次元分布は、共分散行列$\Sigma^{(m)} = (\sigma_{ij})_{1 \leq i,j \leq m}$を持つ多変量正規分布に収束し、すべての有限$m$に対して分布収束が確認される。
• 収束は、$L^{(n)}_u = n$かつ$v \ne u$の下で$L^{(n)}_v \to \infty$を満たす任意の列$L^{(n)}$に沿って成立し、完全な弱収束が保証される。
• 本結果は、実数値および有限次元の混合列に対する従来のCLTを、無限次元ヒルバート空間設定へ一般化する。