[논문 리뷰] Central values of additive twists of cuspidal $L$-functions

Asbjørn Christian Nordentoft|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 짝수 무게 $k \geq 4$의 정칙 측두형 모듈라 형식에 관련된 $L$-함수의 덧셈 스트레스의 중심값의 渐近 정규분포를 확립한다. 이는 Petridis와 Risager의 모듈라 기호 결과를 일반화한다. 정규화된 중심값 $L(f,a/c,k/2)/(C_f \log c)^{1/2}$은 $X \to \infty$일 때 표준 복소 정규분포로 수렴함을 증명하며, 이때 분산 $C_f$는 페테르손 노름과 $\Gamma_0(q)$의 쌍곡적 체적에 의존한다. 이 결과는 중심값 $L(f \otimes \chi, 1/2)$의 넓은 가족에 대한 渐近 공식 유도를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Additive twists are important invariants associated to holomorphic cusp forms; they encode the Eichler--Shimura isomorphism and contain information about automorphic $L$-functions. In this paper we prove that central values of additive twists of the $L$-function associated to a holomorphic cusp form $f$ of even weight $k$ are asymptotically normally distributed. This generalizes (to $k\geq 4$) a recent breakthrough of Petridis and Risager concerning the arithmetic distribution of modular symbols. Furthermore we give as an application an asymptotic formula for the averages of certain 'wide' families of automorphic $L$-functions, consisting of central values of the form $L(f\otimes χ,1/2)$ with $χ$ a Dirichlet character.

연구 동기 및 목표

• 홀로모르픽 측두형 함수의 짝수 무게 $k \geq 4$에 관련된 $L$-함수의 덧셈 스트레스 중심값의 渐近 정규분포를 확립하여 이전의 모듈라 기호 결과를 확장한다.
• Petridis와 Risager의 모듈라 기호 작업을 덧셈 스트레스를 통해 고차원 무게의 측두형 함수로 일반화한다.
• 모듈라 문자의 곱이 1인 가족에 대해 $L(f \otimes \chi, 1/2)$의 중심값 평균에 대한 渐近 공식을 도출한다.
• Mazur와 Rubin이 정의한 분산 기울기 $C_f$의 고차원 무게 해석을 제공하며, 이를 페테르손 노름과 쌍곡적 체적과 연결한다.

제안 방법

• 모든 $r \in \mathbb{Q}$에 대해 $L(f,r,s) = \sum_{n \geq 1} \frac{a_f(n) e(nr)}{n^s}$로 덧셈 스트레스를 정의한다. 이는 $\operatorname{Re}(s) > (k+1)/2$에서 절대수렴하며, 유리형 계속을 갖는다.
• 분모 $c$에 따라 덧셈 스트레스를 순서화한다. $a/c \in \mathbb{Q}$에서 $0 < a < c \leq X$, $(a,c) = 1$, $q \mid c$를 만족하며, 결과 공간 $T(X)$를 구성한다.
• 중앙값 $L(f,a/c,k/2)$를 $(C_f \log c)^{1/2}$로 정규화한다. 여기서 $C_f = \frac{(4\pi)^k \|f\|^2}{(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))}$이다. 이를 통해 그들의 극한 분포를 연구한다.
• 스펙트럴 이론과 Eichler–Shimura 동형을 이용해 덧셈 스트레스를 코homological 불변량과 모듈라 기호와 연결한다.
• Birch–Stevens 공식(보조정리 6.1)을 적용하여 덧셈 스트레스를 $L(f \otimes \chi^*, 1/2)$로 표현함으로써, 디리클레 문자에 대한 중심값 평균을 가능하게 한다.
• 디리클레 문자의 직교성과 $L$-함수의 함수방정식을 이용해, $\chi \mod c$에 대한 평균에 대한 渐近 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀로모르픽 측두형 함수의 짝수 무게 $k \geq 4$에 관련된 $L$-함수의 덧셈 스트레스 중심값은 스트레스 매개변수의 분모에 따라 순서지을 때 渐近 정규분포를 이룬다?
• RQ2 이전에 무게 2에서 알려진 모듈라 기호의 渐近 정규분포는 덧셈 스트레스를 통해 고차원 무게의 측두형 함수로 확장될 수 있는가?
• RQ3 곱이 1인 넓은 디리클레 문자 가족에 대해 $L(f \otimes \chi, 1/2)$의 평균은 어떤 渐近 행동을 보이는가?
• RQ4 정규화에서의 분산 $C_f$는 측두형 함수 $f$의 산술 불변량과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 정규화된 중심값 $L(f,a/c,k/2)/(C_f \log c)^{1/2}$은 $X \to \infty$일 때 표준 복소 정규분포 $\mathcal{N}_{\mathbb{C}}(0,1)$로 渐近적으로 분포하며, 오차는 $o(1)$이다.
• 분산 매개변수 $C_f = \frac{(4\pi)^k \|f\|^2}{(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))}$는 $f$의 $\mathcal{S}_k(\Gamma_0(q))$에 대한 임bedding과 무관하며, Mazur와 Rubin이 정의한 분산 기울기를 일반화한다.
• $(q,c) = 1$이고 $\chi$가 모든 모듈로 $c$ 문자를 빙도할 때, $c \leq X$에 대해 $L(f \otimes \chi, 1/2)$의 평균은 다음과 같은 渐近 공식을 만족한다: $\sum_{c \leq X, (q,c)=1} \frac{1}{\varphi(c)} \sum_{\chi \mod c} |\nu(f,\chi^*, c/c(\chi))|^2 |L(f \otimes \chi^*, 1/2)|^2 = \frac{q(4\pi)^k \|f\|^2}{\pi(k-1)! \cdot \operatorname{vol}(\Gamma_0(q))^2} (\log X) X^2 + \beta_{f,1} X^2 + O_\varepsilon(X^{4/3+\varepsilon})$.
• 이 결과는 비원시 문자로의 Birch–Stevens 공식 일반화이며, 계수 $\nu(f,\chi^*, c/c(\chi))$를 통해 덧셈 스트레스를 $L(f \otimes \chi^*, 1/2)$의 선형 조합으로 표현한다.
• 기저가 직교인 측두형 함수의 덧셈 스트레스의 공동 분포 역시 일반적인 정리 5.1의 형태로 渐近적으로 다변수 정규분포임을 보였다.