[論文レビュー] Centralizing automorphisms and Jordan left derivations on $σ$-prime rings

Lahcen Oukhtite, S. Salhi|ArXiv.org|Feb 4, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

この論文はσ-素環における基本的補題を確立する：σ-リー理想Uが非中心的であり、Rの元a, bがaUb = σ(a)Ub = 0を満たすならば、a = 0またはb = 0である。この結果は、σ-平方閉リー理想上で中心化自己同型が作用する場合、その理想が中心的であることを示すために応用され、さらにAwtarの結果を拡張して、このような理想上でジョルダン左微分作用素が実際に左微分作用素であることを示し、古典的結果を自己同型を伴うσ-素環へ一般化する。

ABSTRACT

Let $R$ be a 2-torsion free $σ$-prime ring. It is shown here that if $U ot\subset Z(R)$ is a $σ$-Lie ideal of $R$ and $a, b$ in $R$ such that $aUb=σ(a)Ub=0,$ then either $a=0$ or $b=0.$ This result is then applied to study the relationship between the structure of $R$ and certain automorphisms on $R$. To end this paper, we describe additive maps $d: R \longrightarrow R$ such that $d(u^2) = 2ud(u)$ where $u\in U,$ a nonzero $σ$-square closed Lie ideal of $R.$

研究の動機と目的

• 素環からσ-素環へMayneの中心化自己同型に関する結果を一般化すること。
• 従来の中心化自己同型に関する結果における、特定の元u₀ ∈ Saσ(R)がRu₀ ⊂ Uを満たす必要性を取り除くこと。
• Awtarのジョルダン左微分作用素に関する結果を、σ-平方閉リー理想を持つσ-素環へ拡張すること。
• 2- torsion-freeなσ-素環におけるσ-平方閉リー理想上でジョルダン左微分作用素が実際に左微分作用素であることを確立すること。

提案手法

• 重要な補題を導入：Uが非中心的σ-リー理想であり、aUb = σ(a)Ub = 0ならば、a = 0またはb = 0である。
• この補題を用いて、従来の中心化自己同型に関する結果におけるu₀条件を除去する。
• 交換子の恒等式とσ-自己同型の性質を用いて、σ-リー理想の構造を分析する。
• 文献[7]の補題6および補題7を用い、d(u²) = 2ud(u)を満たす加法的写像に関する恒等式を導出する。
• 基本的補題を適用して、x,y ∈ U ∩ Saσ(R)に対してd([x,y]) = 0または[x,y]u[x,y] = 0が成り立ち、結果としてd(xy) = xd(y) + yd(x)が得られる。
• 分解u = (u + σ(u))/2 + (u - σ(u))/2を用いて、Saσ(R) ∩ U上の結果をU全体へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 σ-平方閉リー理想上で中心化自己同型が作用する場合、どのような条件下でその理想がσ-素環の中心に含まれるか？
• RQ2 中心化自己同型に関する結果において、Ru₀ ⊂ Uを満たす特定の元u₀ ∈ Saσ(R)の存在を仮定条件から取り除くことは可能か？
• RQ3 2- torsion-freeなσ-素環のσ-平方閉リー理想上で定義された任意のジョルダン左微分作用素は、実際に左微分作用素であるか？
• RQ4 σ-自己同型とσ-素性の性質は、リー理想および微分作用素の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 基本的補題が成立する：Uが非中心的σ-リー理想であり、aUb = σ(a)Ub = 0ならば、a = 0またはb = 0である。
• 中心化自己同型がσ-平方閉リー理想を中心に強いるために、あるu₀ ∈ Saσ(R)についてRu₀ ⊂ Uであるという条件は必要ではない。
• 任意の加法的写像dがすべてのu ∈ Uに対してd(u²) = 2ud(u)を満たすならば、すべてのu,v ∈ Uに対してd(uv) = ud(v) + vd(u)が成り立つ。
• Awtarの定理はσ-素環へ拡張され、ジョルダン左微分作用素がσ-平方閉リー理想上で実際に左微分作用素であることが示された。
• 2- torsion-freeなσ-素環上では、任意のジョルダン左微分作用素は左微分作用素である。これは補題1に述べられている。
• 証明はSaσ(R)に属する元の分析に依拠し、自己同型を用いて対称元から得られた恒等式を、理想全体へ拡張する。