[論文レビュー] Certain properties and applications of shallow bosonic circuits

Kamil Brádler, Hugo Wallner|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2021

Neural Networks and Reservoir Computing被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、パリティ関数を用いて浅いボソン回路からの測定結果をキュービットヒルバート空間へマッピングする新規手法を導入し、QUBOおよびイジング最適化問題を解くための量子古典ハイブリッドシステムの利用を可能にする。浅い回路深さであるにもかかわらず、この手法はキュービットヒルバート空間を完全に探索し、ヤングの格子およびダイクパスに接続することで、高表現力を持つ、古典的にシミュレート可能な効率的サンプリングを実現する。

ABSTRACT

We introduce a novel approach to solve optimization problems on a boson sampling device assisted by classical machine-learning techniques. By virtue of the parity function, we map all measurement patterns, which label the basis spanning an $M$-mode bosonic Hilbert space, to the Hilbert space of $M$ qubits. As a result, the sampled probability function can be interpreted as a result of sampling a multiqubit circuit. The method is presented on several instances of a QUBO/Ising problem as well as portfolio optimization problems. Among many demonstrated properties of the parity function is the ability to chart the entire qubit Hilbert space no matter how shallow the initial bosonic circuits is. In order to show this we link boson sampling circuits to a class of finite Young's lattices (a special poset with the so-called Ferrers diagrams ordered by inclusion), Boolean lattices and the properties of Dyck/staircase paths on integer lattices. Our results and methods can be applied to a large variety of photonic circuits, including the deep ones of essentially any geometry, but our main focus is on shallow circuits as they are less affected by photon loss and relatively easy to implement in the form of a time-bin interferometer.

研究の動機と目的

• 近い将来の最適化のための浅い光子量子回路における表現力の制限および高い光子損失の課題に対処すること。
• ボソンサンプリング装置を実用的な量子古典ハイブリッドソルバーとして、NP困難な最適化問題に応用可能にする。
• 測定パターンをバイナリ文字列に符号化するパリティ関数を用いて、ボソン系からのフォック状態測定結果をキュービット状態へマッピングし、量子優位性の可能性を保持すること。
• 浅い回路でも、ブール格子やフェルレース図を含む組合せ構造を通じて、キュービットヒルバート空間の全領域にアクセス可能であることを示すこと。

提案手法

• 測定パターンをバイナリ文字列に符号化するパリティ関数を用いて、Mモードのボソン系フォック状態をMキュービット状態へマッピングする。
• パリティ関数を用いてボソンサンプリング出力をマルチキュービット量子回路からのサンプリングとして解釈し、古典的最適化を可能にする。
• 有限ヤングの格子およびフェルレース図を用いて、測定結果の構造的性質とその階層的関係をモデル化する。
• ダイクパスおよび整数格子の組合せ論を応用し、マッピングされたキュービットヒルバート空間の到達可能性と完全性を分析する。
• 浅い干渉計が、ヒルバート空間カバレッジの観点から、深さのある量子回路をエミュレートできるマッピングフレームワークを構築する。
• シミュレートされたボソンサンプリング統計を用いて、QUBOおよびポートフォリオ最適化問題に対する手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 浅いボソン回路は、回路深さが限られているにもかかわらず、同等のマルチキュービット系の全ヒルバート空間にアクセス可能か？
• RQ2 ボソンサンプラーの測定結果を、量子優位性の可能性を保持したまま、どのようにキュービットヒルバート空間へマッピングできるか？
• RQ3 ボソン測定パターンとキュービット状態との間のマッピングを支える組合せ的構造は何か？
• RQ4 このマッピングにより、近い将来の光子デバイスを用いてQUBOおよびイジング型問題を効果的に最適化可能か？
• RQ5 パリティベースのマッピングは、元のボソン系の表現力をどの程度保持するか？

主な発見

• パリティマッピングにより、浅いボソン回路でも、組合せ的格子構造を活用することで、Mキュービットヒルバート空間全体を探索可能である。
• この手法により、ボソンサンプリング出力を同等のマルチキュービット回路からのサンプリングにマッピングでき、QUBOおよびイジング問題の古典的最適化が可能である。
• 手法は浅い回路深さに強く、光子損失を最小限に抑えつつ、格子に基づく構造により高い表現力を維持できる。
• マッピングされた空間内の異なるブール部分格子の数は、系サイズの増加に伴い顕著に増加し、浅い回路でも豊富な構造的性質を示す。
• シミュレーションでは、最適化のための学習曲線が、適切なパrameter数の範囲内で低エネルギー解（例：-7.92、-7.30、-5.89）に収束することが示された。
• このフレームワークは、量子光学と数え上げ組合せ論を結びつけ、ヤングの格子、フェルレース図、および量子状態マッピングの間に深い関係を明らかにした。