[論文レビュー] Certifying the Existence of Epipolar Matrices

Sameer Agarwal, Hon-Leung Lee+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Digital Image Processing Techniques参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非線形系を解かずに2次元点対応から基本行列の存在を証明するための多項式時間アルゴリズムを提示する。この手法は、実数のランク2の基本行列が存在するかどうかを決定する画像座標における明示的な多項式不変量を導出する。これは最小ケースに対する完全で構成可能な解法を提供し、行列パラメータを含まない二視点不変量の新分野を創出する。

ABSTRACT

Given a set of point correspondences in two images, the existence of a fundamental matrix is a necessary condition for the points to be the images of a 3-dimensional scene imaged with two pinhole cameras. If the camera calibration is known then one requires the existence of an essential matrix. We present an efficient algorithm, using exact linear algebra, for testing the existence of a fundamental matrix. The input is any number of point correspondences. For essential matrices, we characterize the solvability of the Demazure polynomials. In both scenarios, we determine which linear subspaces intersect a fixed set defined by non-linear polynomials. The conditions we derive are polynomials stated purely in terms of image coordinates. They represent a new class of two-view invariants, free of fundamental (resp.~essential)~matrices.

研究の動機と目的

• 2次元点対応から基本行列の存在問題を完全でアルゴリズム的な方法で解決すること。
• データ行列 $ Z $ のランクが変化する条件下で、本質的行列のDemazure多項式の可解性を特定すること。
• 本質的行列および基本行列の存在に必要な十分な多項式条件を、行列自体に依存しない画像座標の観点から導出すること。
• 基本行列や本質的行列に依存しない、画像座標のみに基づく新しい二視点不変量のクラスを確立すること。
• ランク不足の行列と実際の基本行列・本質的行列の間のギャップを、線形代数的条件によるランク2およびランク3解の証明によって埋めること。

提案手法

• 本手法は、点対応のクリプト積を用いて構成されるデータ行列 $ Z \in \mathbb{R}^{m \times 9} $ を用いてエピポーラ制約を表現する。
• 基本行列の場合は、$ Z $ の核が実数のランク2行列の多様体と交差するかどうかを、$ Z $ に関する線形代数的条件でチェックする。
• 本質的行列の場合は、$ Z $ の核を分析し、Demazure多項式から導かれる3次方程式の共通実根をテストするためのBézout行列を構築する。
• 導出された行列 $ R $ のランクを計算して状況を分類する：ランク1は存在を示し、ランク4は非存在を示し、ランク2または3の場合は判別式またはGCDを用いた根の探索を実行する。
• 本手法は曲線 $ \mathcal{C} $ のパラメータ化と、複素本質的多様体 $ \mathcal{E}_{\mathbb{C}} $ のチャウ形式を用いて解を特徴付ける。
• すべての条件は、行列計算を直接行わず、画像座標のみを用いた多項式方程式および不等式として表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元点対応がどのような条件下で、実数のランク2の基本行列が存在するか。
• RQ2 与えられたデータ行列 $ Z $ に対して、Demazure多項式の系が実数解を持つのはいつか。これは本質的行列の存在を示唆する。
• RQ3 非線形系を解かずに、データ行列 $ Z $ における線形代数のみを用いて、基本行列または本質的行列の存在を証明できるか。
• RQ4 画像座標におけるどのような多項式不変量が、行列自体に依存しないエピポーラ行列の存在を完全に特徴付けるか。
• RQ5 代数幾何学的手法を用いて、ランク不足の行列と実際の基本行列の間のギャップを正式に埋めることは可能か。

主な発見

• 本稿では、点対応とデータ行列 $ Z $ における線形代数のみを用いて、基本行列の存在を完全に多項式時間で証明するアルゴリズムを提供する。
• $ \textup{rank}(Z) \leq 3 $ または $ \geq 7 $ の場合、本質的行列の存在はランク条件とデータ上の多項式制約によって完全に特徴付けられる。
• $ 4 \leq \textup{rank}(Z) \leq 6 $ の場合、本手法はDemazure多項式が複素数解を持つかどうかを同定する。さらに、導出された行列 $ R $ のランクが2または3の場合、判別式およびGCDを用いて実根の有無をチェックする。
• アルゴリズムは $ \textup{rank}(R) = 1 $ の場合に存在を正しく特定し、$ \textup{rank}(R) = 4 $ の場合は非存在を示す。中間のランクでは判別式およびBézout行列のチェックを実行する。
• 導出された条件は、画像座標における多項式不変量であり、基本行列や本質的行列に依存しない新しい二視点不変量のクラスを形成する。
• 本手法は正確な線形代数を用いてランク2解を証明することで、ランク不足の行列と実際の基本行列の間のギャップを閉じており、非線形ソルバーを回避する。