[論文レビュー] CGMY and Meixner Subordinators are Absolutely Continuous with respect to One Sided Stable Subordinators

Dilip B. Madan, Marc Yor|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、CGMYおよびメイクナーLévy過程が、片側安定劣化子に関して絶対連続な時間変更を伴うブラウン運動として表現可能であることを確立している。具体的には、CGMYでは$Y/2$-安定劣化子、メイクナーでは$1/2$-安定劣化子が時間変更に用いられる。この表現により、劣化子によるサブオーダシネーションを介した効率的シミュレーションが可能となり、相関のあるジャンプと歪度を有する多資産デリバティブのモデリング基盤が構築される。

ABSTRACT

We describe the CGMY and Meixner processes as time changed Brownian motions. The CGMY uses a time change absolutely continuous with respect to the one-sided stable $(Y/2)$ subordinator while the Meixner time change is absolutely continuous with respect to the one sided stable $(1/2)$ subordinator$.$ The required time changes may be generated by simulating the requisite one-sided stable subordinator and throwing away some of the jumps as described in Rosinski (2001).

研究の動機と目的

• CGMYおよびメイクナー過程が時間変更ブラウン運動として表現可能であることを確立すること。
• これらの過程の時間変更が、片側安定劣化子に関して絶対連続であることを証明すること。
• 関連する安定劣化子を用いたブラウン運動のサブオーダシネーションに基づくシミュレーション戦略の開発。
• 各マージナルLévy動的を保持しつつ、基礎となるブラウン運動を相関付けることで、多資産構造金融商品の実用的モデリングを可能にすること。

提案手法

• Satoの定理30.1を用いて、サブオーダされたブラウン運動のLévy測度を導出。これにより、劣化子のLévy測度と結果的プロセスのLévy測度との関係を特定。
• Satoの定理33.1を用いた絶対連続性基準を適用。これは、密度関数$ f(t) $が存在し、$ \nu_A(dt) = f(t)\nu_B(dt) $を満たし、さらに$ \int_0^\infty \nu_B(dt)(\sqrt{f(t)} - 1)^2 < \infty $が成り立つことを要請する。
• CGMYに対しては、Lévy密度および特性関数解析を用いて、時間変更が片側安定$ Y/2 $劣化子に関して絶対連続であることを示した。
• メイクナーに対しては、密度$ k(x) = \frac{\delta a}{\sqrt{2\pi x^3}} $と生存確率$ P(M_1^{(3)} \geq C\sqrt{u}) $を活用し、時間変更が片側安定$ 1/2 $劣化子に関して絶対連続であることを証明した。
• シミュレーションは、基準となる安定劣化子からのジャンプを生成し、関数$ g(u) $に依存する受容棄却法によるスプライシングを用いて薄めることで実行。
• 最終的なプロセスは$ X = \frac{b}{a}\tau + \sqrt{\tau}z $としてシミュレートされ、ここで$ \tau $はスプライシングされた時間変更、$ z $は標準正規変数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CGMY過程は、片側安定劣化子に関して絶対連続な時間変更を伴う時間変更ブラウン運動として表現可能か？
• RQ2 メイクナー過程は、片側安定$ 1/2 $劣化子に関して絶対連続な時間変更を伴う時間変更ブラウン運動として表現可能か？
• RQ3 時間変更が基準となる安定劣化子に関して絶対連続であることを保証するRadon-Nikodym密度の関数形は何か？
• RQ4 このような表現が、Lévy性質を保持しつつ、プロセスを効率的にシミュレートするためにどのように活用可能か？
• RQ5 市場実データにキャリブレーションした場合、シミュレーション手法の経験的精度はどの程度か？

主な発見

• CGMY過程は、片側安定$ Y/2 $劣化子に関して絶対連続であることが示され、これにより時間変更ブラウン運動としての表現が可能となった。
• メイクナー過程は、片側安定$ 1/2 $劣化子に関して絶対連続であることが証明され、時間変更ブラウン運動としての表現が正当化された。
• CGMYおよびメイクナー過程のシミュレーションは、関数$ g(u) $に基づく受容棄却法によるスプライシングを用いた、基準となる安定劣化子からのジャンプのスプライシングにより実現され、正しい時間変更分布が保証された。
• CGMY（パラメータ$ C=1, G=5, M=10, Y=0.5 $）ではカイ二乗検定のp値が0.9172を示し、理論的密度との良好な適合が裏付けられた。
• メイクナー（パラメータ$ a=0.25, b=-1.5, \delta=1 $）ではカイ二乗検定のp値が0.6427を示し、理論分布との良好な一致が確認された。
• シミュレーションフレームワークにより、各マージナルプロセスの独立した時間変更を保持しつつ、基礎となるブラウン運動を相関付けることで、多資産モデリングが可能となった。