[論文レビュー] Chain groups of homeomorphisms of the interval

Sang-Hyun Kim, Thomas Koberda+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、区間の向きを保つホメオモルフィズムの群としてのトマホークス群 F の一般化として、鎖群（chain groups）を導入し、それらが二分法的性質を示すことを示している。すなわち、その交換子群が単純であるか、あるいはその作用に「散乱区間」（wandering interval）をもち、交換子群が単純であるような標準的商群を許容する。主な貢献は、Homeo⁺(I) の任意の有限生成部分群が、最小鎖群に埋め込まれることであり、これにより、非可算個の単純部分群および C¹ 級作用をもたない群の同型型が得られる。

ABSTRACT

We introduce and study the notion of a chain group of homeomorphisms of a one-manifold, which is a certain generalization of Thompson's group $F$. The resulting class of groups exhibits a combination of uniformity and diversity. On the one hand, a chain group either has a simple commutator subgroup or the action of the group has a wandering interval. In the latter case, the chain group admits a canonical quotient which is also a chain group, and which has a simple commutator subgroup. On the other hand, every finitely generated subgroup of $\operatorname{Homeo}^+(I)$ can be realized as a subgroup of a chain group. As a corollary, we show that there are uncountably many isomorphism types of chain groups, as well as uncountably many isomorphism types of countable simple subgroups of $\operatorname{Homeo}^+(I)$. We consider the restrictions on chain groups imposed by actions of various regularities, and show that there are uncountably many isomorphism types of $3$--chain groups which cannot be realized by $C^2$ diffeomorphisms, as well as uncountably many isomorphism types of $6$--chain groups which cannot be realized by $C^1$ diffeomorphisms. As a corollary, we obtain uncountably many isomorphism types of simple subgroups of $\operatorname{Homeo}^+(I)$ which admit no nontrivial $C^1$ actions on the interval. Finally, we show that if a chain group acts minimally on the interval, then it does so uniquely up to topological conjugacy.

研究の動機と目的

• 区間の向きを保つホメオモルフィズムの群内でのトマホークス群 F の自然な一般化として鎖群を定義し、それらを研究すること。
• 鎖群の正規部分群構造を分析し、最小作用で交換子群が単純であるか、あるいは散乱区間をもつ作用であるかという二分法的性質を示すこと。
• Homeo⁺(I) の任意の有限生成部分群が最小鎖群に埋め込まれることを示し、これにより多様で豊かな部分群構造が得られることを示すこと。
• 鎖群の微分同相写像による実現における正則性制約を調査し、特に一部の鎖群が C¹ または C² 微分同相写像によって実現できないことを示すこと。
• 鎖群の最小作用が位相的同型に関して一意的であることを示し、ルービンの定理と局所的稠密性の性質を用いること。

提案手法

• n 鏈群を、重なり合う補助を持つ n 個のホメオモルフィズムによって生成される群として定義し、隣接するペアがトマホークス群 F のコピーを生成するようにする。
• 前鎖群（prechain groups）の概念を用い、生成子の高次のべきが鎖群を導くことを示し、定理 1.1 を証明する。
• ルービンの定理を適用し、最小鎖群同士の任意の同型が位相的同型によって誘導されることを示す。
• 任意の Homeo⁺(I) の有限生成部分群を (n+2) または (n+1) 鏈群に埋め込む構成を行い、定理 1.4 を証明する。
• 軌道の閉包と補助構造を用いて鎖群の力学的挙動を分析し、最小作用と散乱区間をもつ作用の区別を行う。
• 同型変換と補助制御を用い、特に最小鎖群の場合に局所的稠密性と最小性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Homeo⁺(I) の任意の有限生成部分群は鎖群に埋め込まれるか？ もしそうならば、最小の鎖群サイズは何か？
• RQ2 鎖群の交換子群の構造は何か？ いつ単純になるか？
• RQ3 どのような正則性条件下で鎖群が C¹ または C² 微分同相写像によって実現可能か？ また、非可算個の実現不可能な型が存在するか？
• RQ4 鎖群の区間上での最小作用は、位相的同型に関して一意的か？
• RQ5 力学的挙動（例：散乱区間）と鎖群の代数的構造との関係は何か？

主な発見

• Homeo⁺(I) の任意の有限生成部分群は (n+2) 鏈群に埋め込まれ、初めの生成子の補助が有限個の成分を持つならば (n+1) 鏈群に埋め込まれる。
• 非可算個の鎖群の同型型が存在し、また Homeo⁺(I) の可算単純部分群の非可算個の同型型が存在する。
• C² 微分同相写像によって実現できない 3 鏈群の同型型が非可算個存在する。
• C¹ 微分同相写像によって実現できない 6 鏈群の同型型が非可算個存在する。
• 鎖群が区間上で最小作用をもつならば、その作用は位相的同型に関して一意的である。
• 鎖群は、交換子群が単純であるか、あるいは交換子群が単純であるような標準的商群を許容する。