[論文レビュー] Change of Coefficients for Drinfeld Modules, Shtuka, and Abelian Sheaves

Urs Hartl, Markus Hendler|ArXiv.org|Aug 10, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の曲線の有限平坦な準同型 $ olimits\pi: C' \to C$ 沿いに、Drinfeld $A'$-加群からDrinfeld $A$-加群への係数制限函手の制限を調査する。誘導されるモジュライ空間間の準同型は固有であるが、一般には代表可能でないことを証明する。この結果は、同様の技術を用いてDrinfeld-Anderson shtukaおよびアーベル層へと拡張され、正標数幾何におけるモジュライ理論に重要な意味を持つ。

ABSTRACT

We study the passage from Drinfeld-A'-modules to Drinfeld-A-modules for a given finite flat inclusion A \subset A'. We show that this defines a morphism from the moduli space of Drinfeld-A'-modules to the moduli space of Drinfeld-A-modules which is proper but in general not representable. For Drinfeld-Anderson shtuka and abelian sheaves instead of Drinfeld modules we obtain the same results.

研究の動機と目的

• 有限体上の曲線 $\pi: C' \to C$ 沿いに係数制限によるDrinfeld加群の挙動を分析すること。
• Drinfeld-Anderson shtukaおよびアーベル層（高次元設定におけるDrinfeld加群の一般化）へ分析を拡張すること。
• 誘導されたモジュライ空間間の準同型が代表可能であるかどうかを特定すること。これはモジュライ理論における中心的問題である。
• 値の基準による固有性の証明と、明示的な反例を用いた代表不可能性の示唆。
• 係数制限函手の共通枠組みを通じて、これら三つの関連する幾何的対象を統一的に取り扱うこと。

提案手法

• $\mathbb{F}_q$ 上のスキーム上でDrinfeld $A$-加群、shtuka、アーベル層を定義する。ここで $A = \Gamma(C \setminus \{\infty\}, \mathcal{O}_C)$ である。
• $\pi^*: A \to A'$ を通じた引き戻しにより係数制限函手を構成し、モジュライ函手間の準同型を誘導する。
• Drinfeld加群とDrinfeld-Anderson shtuka、Drinfeld加群とアーベル層の間の反同値関係を用いて結果を転送する。
• 任意の離人環の分数体上での同型が環上に一意に拡張可能であるという値の基準を用いて固有性を証明する。
• 特定の $\tau$-加群が自由でないことに依拠して、離人環上のアーベル層から明示的な反例を構成し、代表不可能性を示す。
• Gardeynらの $\tau$-加群および $\Pi_i^{-1} \circ \tau_i$-不変部分加群の最大性に関する結果を応用し、同型の持ち上げを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数制限に沿って誘導されるDrinfeld $A'$-加群とDrinfeld $A$-加群のモジュライ空間間の準同型は固有か？
• RQ2 この準同型は代表可能か？ あるいはモジュライスタック構造に障害があるか？
• RQ3 Drinfeld加群に関する結果は、Drinfeld-Anderson shtukaおよびアーベル層へどの程度拡張可能か？
• RQ4 非代表可能性は明示的な幾何的反例によって示せるか？
• RQ5 特に値の基準の観点から、係数制限函手はスタックのレベルでどのように振る舞うか？

主な発見

• Drinfeld $A'$-加群のモジュライ空間からDrinfeld $A$-加群のモジュライ空間への係数制限準同型は、固有であり、値の基準を満たす。
• 同様の準同型は一般には代表可能でない。離人環上のアーベル層から構成された反例によって示された。
• 代表不可能性は、ある特定の $\tau$-加群が自由でないことに起因し、分数体上での同型が環上への持ち上げが不可能であるためである。
• 結果はDrinfeld-Anderson shtukaおよびアーベル層へもそのまま拡張可能であり、同じ固有性および非代表可能性の性質を有する。
• Drinfeld加群の固有性の証明は、F. Breuerによる特殊ケースを一般化したものであり、$\tau$-加群の最大性の議論を用いる。
• 値の基準における同型の持ち上げ性質が成り立つ：任意の離人環の一般点における同型は一意に全体の環上に持ち上げられ、固有性が確認される。