[論文レビュー] Changing times to optimise reachability in temporal graphs

Jessica Enright, Kitty Meeks|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2018

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、到達可能性を最適化するためにエッジに時間ラベルを割り当てる、新しい時間的グラフ修正問題を導入する。この問題は、到達可能なノード数を最大化または最小化することを目的としている。強力な計算困難性の結果を提示し、定数サイズのエッジクラスと有界次数のグラフという厳しい制約下でも、問題がNP完全であることを示している。また、頂点被覆番号をパrameterとして見た場合、W[1]-hardであることも示している。

ABSTRACT

Temporal graphs (in which edges are active only at specified time steps) are an increasingly important and popular model for a wide variety of natural and social phenomena. We propose a new extension of classical graph modification problems into the temporal setting, and describe several variations on a modification problem in which we assign times to edges so as to maximise or minimise reachability sets within a temporal graph. We give an assortment of complexity results on these problems, showing that they are hard under a variety of restrictions. In particular, if edges can be grouped into classes that must be assigned the same time, then our problem is hard even on directed acyclic graphs when both the reachability target and the classes of edges are of constant size, as well as on an extremely restrictive class of trees. We further show that one version of the problem is W[1]-hard when parameterised by the vertex cover number of the instance graph. In the case that each edge is active at a unique timestep, we identify some very restricted cases in which the problem is solvable in polynomial time; however, list versions of both problems (each edge may only be assigned times from a specified lists) remain NP-complete in this setting even if the graph is of bounded degree and the reachability target is a constant.

研究の動機と目的

• エッジに時間ラベルを割り当てることで、古典的なグラフ修正問題を時間的設定に拡張すること。
• エッジの時間割り当てを通じて、時間的グラフにおける到達可能ノード集合の最適化の複雑さを調査すること。
• さまざまな構造的制約下での到達可能性最大化および最小化の計算的境界を特定すること。
• 同じ時間割り当てが要求される事前に定義されたクラスにグループ化されたエッジの影響を分析すること。
• リスト制約や有界次数のグラフといった制限付き入力形式が、問題の tractability に与える影響を調査すること。

提案手法

• 到達可能性に影響を与えるためにエッジに時間ラベルを割り当てる時間的グラフ修正の形式的モデルを提案する。
• 2つのバリアントを導入する：1つは到達可能ノード集合のサイズを最大化し、もう1つは最小化する。
• 特に、頂点被覆番号をパrameterとして見た場合のW[1]-hardnessを示す、パrameterized複雑度分析を用いる。
• 既知のNP困難問題への還元により、制限付き設定（DAG や定数サイズのエッジクラスを有する木）下での困難性を証明する。
• 各エッジが事前に定義された時間スロットの集合からのみ割り当て可能であるリスト制約を検討する。
• 各エッジが固有の時間ステップにのみ活性化される特別な場合に、多項式時間で解けることを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的グラフにおける到達可能性最適化問題が計算的に tractable となる条件は何か？
• RQ2 エッジが事前に定義されたクラス内で同じ時間ラベルを共有する制約がある場合、複雑さはどのように変化するか？
• RQ3 基礎となるグラフの頂点被覆番号をパrameterとして見た場合、問題のパrameterized複雑度は何か？
• RQ4 各エッジが固有のアクティベート時間を持つ場合、問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 時間割り当てのリスト制約が、有界次数のグラフでさえも問題の複雑さにどのように影響するか？

主な発見

• エッジクラスと到達可能性のターゲットが定数サイズであり、かつグラフが有向無閉路グラフ（DAG）である場合でさえ、問題はNP完全である。
• 非常に制限された木のクラスに対しても問題はNP完全のままであり、極めて単純なトポロジーでも困難性が保たれることを示している。
• インスタンスグラフの頂点被覆番号をパrameterとして見た場合、問題の1つのバリアントはW[1]-hardである。
• 各エッジが固有の時間ステップにのみ活性化される場合、特定の極めて制限された条件下では問題は多項式時間で解ける。
• 有界次数のグラフおよび定数サイズの到達可能性ターゲットの下でも、最大化および最小化の両方のリスト制約付きバージョンはNP完全のままである。
• これらの結果は、エッジクラスおよび時間割り当ての構造的制限が、トラクタビリティを保証するには十分でないことを示している。