[論文レビュー] Chaotic and Predictable Representations for Multidimensional Lévy Processes

Jianzhong Lin|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Probability and Risk Models参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、補正されたパワージャンプ過程のグラム・シュミット直交化を用いて、多変数 Lévy 確率過程に対する直交化された多変数テューゲルス martingale を構成することにより、多変数 Lévy 確率過程に対して混沌とした表現性を確立する。主な貢献は、これらの直交化された martingale を用いた二乗可積分確率変数の混沌とした展開であり、そこから予測可能表現性が直接導かれる。これは、Lévy 清水中のモーメントおよびラプラス変換条件の下で、単変数の結果を多変数設定に拡張するものである。

ABSTRACT

For a general Multidimensional Lévy process (satisfying some moment conditions), we introduce the Multidimensional power jump processes and the related Multidimensional Teugels martingales. Furthermore, we orthogonalize the Multidimensional Teugels martingales by applying Gram-Schmidt process. We give a chaotic representation for every square integral random variable in terms of these orthogonalized Multidimensional Teugels martingales. The predictable representation with respect to the same set of Multidimensional orthogonalized martingales of square integrable random variables and of square integrable martingales is an easy consequence of the chaotic representation.

研究の動機と目的

• 単変数から多変数 Lévy 確率過程への混沌とした表現性（CRP）の拡張を図ること。
• 多変数 Lévy 確率過程の補正されたパワー・ジャンプ過程に基づく適切な直交 martingale 列の構築。
• これらの直交化された martingale を用いた二乗可積分確率変数の混沌とした表現の確立。
• 混沌とした表現の結果として、予測可能表現性を導出すること。
• 多変数メイクスナー過程を含む明示的な例を提示し、フレームワークの実例を示すこと。

提案手法

• Lévy 確率過程のジャンプサイズの $d$ 乗の増分として、多変数パワー・ジャンプ過程を定義する。
• 予測可能な補正項を差し引くことにより、補正されたパワー・ジャンプ過程を構成し、局所 martingale を得る。
• 得られた多変数テューゲルス martingale をグラム・シュミット法を用いて直交化する。
• 多項式系列と補正されたパワー・ジャンプ過程との等長性を用い、直交化された martingale と多変数メイクスナー多項式との関係を特定する。
• 二乗可積分確率変数を、直交化された martingale に関する複数のストリート・インテグラルの直交和として表現することにより、混沌とした表現を確立する。
• 混沌とした表現の直接的結果として、予測可能表現性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混沌とした表現性は、単変数から多変数 Lévy 確率過程へ拡張可能か？
• RQ2 多変数 Lévy 確率過程の補正されたパワー・ジャンプ過程から、直交 martingale 列をどのように構築できるか？
• RQ3 直交化されたテューゲルス martingale とメイクスナー多項式などの多変数直交多項式との関係は何か？
• RQ4 多変数の場合に混沌とした表現が成立するための Lévy 清水中の条件は何か？
• RQ5 多変数設定において、予測可能表現性は混沌とした表現からどのように導かれるか？

主な発見

• Lévy 清水中の原点以外の点で有限なラプラス変換を持つという条件下で、多変数 Lévy 確率過程に対して混沌とした表現性が成立する。
• 直交化された多変数テューゲルス martingale は、二乗可積分確率変数の混沌とした展開のための完全な直交基底を形成する。
• 同じ直交化された martingale に関する混沌とした表現から、二乗可積分 martingale 及び確率変数の予測可能表現性が直接導かれる。
• グラム・シュミット法による直交化された martingale の構成は、直交性を保証し、明示的な混沌とした展開を可能にする。
• 多変数メイクスナー過程では、テューゲルス martingale の直交化が、多項式空間との等長性を通じて多変数メイクスナー多項式に対応する。
• 本フレームワークは、直交化されたジャンプに基づく martingale に関する複数のストリート・インテグラルを用いた、確率変数および martingale の体系的表現法を提供する。