[論文レビュー] Chaotic iterations and topological chaos

Jacques M. Bahi, Christophe Guyeux|ArXiv.org|Oct 17, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限ブール集合上のカオス的反復とデヴァニの位相的カオスの定義の間の厳密な数学的リンクを確立し、位相的混合性が成り立つ場合、このような反復が初期条件に対する敏感な依存性および位相的混合性を示すことを示している。これはカオスの主要な性質である。この枠組みにより、暗号化や擬似乱数生成などの暗号的応用におけるカオス的ダイナミクスの使用に理論的根拠が与えられる。

ABSTRACT

Chaotic iterations have been introduced on the one hand by Chazan, Miranker [5] and Miellou [9] in a numerical analysis context, and on the other hand by Robert [11] and Pellegrin [10] in the discrete dynamical systems framework. In both cases, the objective was to derive conditions of convergence of such iterations to a fixed state. In this paper, a new point of view is presented, the goal here is to derive conditions under which chaotic iterations admit a chaotic behaviour in a rigorous mathematical sense. Contrary to what has been studied in the literature, convergence is not desired. More precisely, we establish in this paper a link between the concept of chaotic iterations on a finite set and the notion of topological chaos [8], [6], [7]. We are motivated by concrete applications of our approach, such as the use of chaotic boolean iterations in the computer security field. Indeed, the concept of chaos is used in many areas of data security without real rigorous theoretical foundations, and without using the fundamental properties that allow chaos. The wish of this paper is to bring a bit more mathematical rigour in this field.

研究の動機と目的

• カオス的反復とデヴァニの意味における位相的カオスとの間の形式的関係を確立すること。
• カオス的反復が初期条件に対する敏感な依存性および位相的混合性—カオスの核となる特徴—を示すことを実証すること。
• カウンターパートの理論的根拠を提供することにより、理論的正当性の欠片もないままにしばしば使用されるカオスを、コンピュータセキュリティ分野で利用することに数学的厳密性をもたらすこと。
• 周期性が意味をなさない有限状態系において、周期点の概念に代わる「巡回点」の概念を導入することで、デヴァニのカオス基準を有限状態系に適応すること。
• 有限機械数と長さが無限の戦略を含む実用的コンピュータサイエンスの文脈に、理論的カオス理論を拡張すること。

提案手法

• 有限ブール空間 $\mathds{B}^N$ 上に、1ステップごとに1つの成分のみが更新される戦略 $S \in \mathbb{S}$ を用いた、離散的力学系としてカオス的反復を形式化する。
• デヴァニの位相的カオスの3条件（位相的混合性、初期条件に対する敏感な依存性、正則性：稠密な周期点）を適用する。
• 関数 $f$ が位相的混合性を満たすならば、カオス的反復が位相的カオスの条件を満たすことを証明する。
• 有限系における周期点の代わりに、戦略が最終的に繰り返し始める点として「巡回点」の概念を導入し、有限状態設定における正則性を保証する。
• 戦略が有限であるが長さが無限にまで伸びる場合でも、連続性、混合性、敏感さが保たれることを示す。
• 戦略の進化を空間 $\mathbb{S}$ でモデル化するためにシフト作用素 $\sigma$ と初期関数 $i$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ブール集合上のカオス的反復が、デヴァニの意味における位相的カオスを示すのはどのような条件下か？
• RQ2 標準的な周期性が意味をなさない有限状態系において、周期性の概念をどのように再定義できるか？
• RQ3 位相的カオスの理論的枠組みを、有限機械精度を持つ実用的コンピュータシステムに適用できるか？
• RQ4 戦略列 $S$ が離散力学系におけるカオス的挙動を決定づける役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ5 カオス的反復における敏感さと混合性は、暗号的応用における予測不能性と分解不能性をどのように支えるか？

主な発見

• 関数 $f$ が位相的混合性を満たす限り、$\mathds{B}^N$ 上のカオス的反復は、デヴァニの3条件を満たし、位相的カオスである。
• 初期条件に対する敏感さと位相的混合性は有限系でも保たれ、予測不能性とグローバル到達可能性が保証される。
• 戦略が最終的に繰り返し始める点として定義される「巡回点」の集合は、有限状態空間において稠密であり、有限系における周期点の代わりに機能する。
• 有限機械数と長さが無限の戦略を用いる場合でも、カオスの核心的性質（敏感さと混合性）は維持される。
• 理論的枠組みは、文字ストリーム（例：ASCIIコード）から戦略を生成するような実用的コンピューティングシナリオに適用可能である。
• 本研究の結果は、暗号化、ウォーターマーキング、ハッシュ関数などのセキュリティ応用におけるカオス的ダイナミクスの使用に、数学的厳密な根拠を提供する。