[論文レビュー] Character correspondences induced by magic representations

Frieder Ladisch|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、キャラクター制限の重複度から生じる「魔法の表現」—つまり、射影表現—を用いて、有限群の既約キャラクター間の新しい対応を導入する。射影表現が通常表現に引き上げられる場合、群代数のモラータ同値性を誘導し、与えられた正規部分群のキャラクター上方のキャラクターと、それに対応する部分群のキャラクター上方のキャラクターとの間の双対写像を生じる。この双対写像は、有理性およびシューア指数の性質を制御する。

ABSTRACT

Let G be a finite group, K a normal subgroup of G and H a subgroup such that G = HK, and set L = H \cap K. Suppose θ\in Irr K and ϕ\in Irr L, and ϕ occurs in θ_L with multiplicity n > 0. A projective representation of degree n on H/L is defined in this situation; if this representation is ordinary, it yields a bijection between Irr(G | θ) and Irr(H | ϕ). The behavior of fields of values and Schur indices under this bijection is described. A modular version of the main result is proved. We show that the theory applies if n and the order of H/L are coprime. Finally, assume that P <= G is a p-group with P \cap K = 1 and PK normal in G, that H = N_G(P), and that θ and ϕ belong to blocks of p-defect zero which are Brauer correspondents with respect to the group P. Then every block of F_p[G] or Q_p[G] lying over θ is Morita-equivalent to its Brauer correspondent with respect to P. This strengthens a result of Turull [Above the Glauberman correspondence, Advances in Math. 217 (2008), 2170--2205].

研究の動機と目的

• キャラクター制限の重複度から生じる射影表現を用いて、$\operatorname{Irr}(G\mid\vartheta)$ と $\operatorname{Irr}(H\mid\varphi)$ 間の一般化されたキャラクター対応を確立すること。
• この対応において、体の値とシューア指数の振る舞いを記述し、有理性の整合性を保証すること。
• 特に $p$-特異度がゼロのブロックの文脈において、$\mathbb{F}_p$ および $\mathbb{Q}_p$ 上のモジュラー表現への理論の拡張。
• Glauberman対応などの既知の結果を一般化し、$\mathbb{F}_pG$ および $\mathbb{Q}_pG$ のブロックとそれらのブレイザー対応物の間でモラータ同値性を証明すること。
• Clifford対応に依存しない洗練された枠組みを用いて、不変でないキャラクターを扱い、体およびシューア指数のデータを保持すること。

提案手法

• 中心的イデアル $i = e_\vartheta e_\varphi$ を $\mathbb{C}K$ に定義し、中心化子 $S = \mathbf{C}_{i\mathbb{C}Ki}(L) \cong \mathbf{M}_n(\mathbb{C})$ を構成する。
• $H/L$ の $S$ への共役作用を用いて、射影表現 $\sigma: H/L \to S^*$ を定義する。ここで $s^h = s^{\sigma(h)}$ である。
• 射影表現 $\sigma$ が通常表現に引き上げられる場合、これを「魔法の表現」と呼ぶ。このとき、$\mathbb{C}Ge_\vartheta$ と $\mathbb{C}He_\varphi$ 間のモラータ同値性が誘導される。
• 射影表現 $\sigma$ のキャラクター $\psi$ を用いて、$\iota: \operatorname{Irr}(G\mid\vartheta) \to \operatorname{Irr}(H\mid\varphi)$ というキャラクターの双対写像を構成する。このとき、$\sum_{\xi \in \operatorname{Irr}(H\mid\varphi)} (\chi_H, \xi)\xi = \psi \chi^\iota$ を満たす。
• 射影表現のコhomology類を、$[\vartheta]_{G/K}[\varphi]_{H/L}^{-1} \in H^2(G/K, \mathbb{C}^*)$ に結びつける。
• モジュラー設定において $\mathbb{F}_p$ および $\mathbb{Q}_p$ を用い、$p$-群の制御下で $\mathbb{F}_pG$ および $\mathbb{Q}_pG$ のブロックとそれらのブレイザー対応物の間のモラータ同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キャラクター制限の重複度 $n = (\vartheta_L, \varphi)$ から生じる射影表現が、通常表現に引き上げられるのはどのような条件下か？ これによりキャラクター対応が可能となる。
• RQ2 双対写像 $\operatorname{Irr}(G\mid\vartheta) \to \operatorname{Irr}(H\mid\varphi)$ によって、キャラクターの体の値とシューア指数はどのように変化するか？
• RQ3 特に $\vartheta$ および $\varphi$ が $p$-特異度ゼロのブロックにある場合に、$\mathbb{F}_p$ および $\mathbb{Q}_p$ 上のモジュラー表現へ理論を拡張できるか？
• RQ4 コhomology類 $[\vartheta]_{G/K}[\varphi]_{H/L}^{-1}$ は、キャラクター対応の存在および性質を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\vartheta$ および $\varphi$ がそれぞれ $G$-不変および $H$-不変でない場合、Clifford対応に依存せずに、どのように対応を構成できるか？

主な発見

• 射影表現 $H/L$ が通常表現に引き上げられる場合、魔法の表現を用いて双対写像 $\iota: \operatorname{Irr}(G\mid\vartheta) \to \operatorname{Irr}(H\mid\varphi)$ が構成される。
• キャラクター対応は、$\psi$ を魔法の表現のキャラクターとして、恒等式 $\sum_{\xi \in \operatorname{Irr}(H\mid\varphi)} (\chi_H, \xi)\xi = \psi \chi^\iota$ を満たす。
• 射影表現のコhomology類は、正確に $[\vartheta]_{G/K}[\varphi]_{H/L}^{-1}$ に一致し、対応が群コhomologyと結びつく。
• $n = (\vartheta_L, \varphi)$ と $|H/L|$ が互いに素である場合、理論は適用可能であり、Schmid の結果を一般化する。
• モジュラー設定において、$\mathbb{F}_pG$ や $\mathbb{Q}_pG$ の任意のブロックで $\vartheta$ を上方に持つものは、$p$-群 $P$ に関するブレイザー対応物とモラータ同値である。これはTurullの結果を強化する。
• $p$-特異度ゼロのブロックに対しては、対応はブレイザー対応を保存し、$\mathbb{F}_pG$ および $\mathbb{Q}_pG$ のブロックとそれらの $P$-ブレイザー対応物との間でモラータ同値性を誘導する。