[論文レビュー] Character sheaves on unipotent groups in positive characteristic: foundations

Mitya Boyarchenko, Vladimir Drinfeld|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正の特性を持つ代数閉体上の一様代数的群におけるキャラクターシーブの基礎理論を確立する。最小の閉イデムポテン（idempotent）がすべて適切なペアから生じることを証明し、各イデムポテンが高次のExt群が消え、畳み込みの性質が制御された有限な${\mathbb{L}}$-パケットを定義することを示し、ルスティグが予想した一様設定におけるキャラクターシーブの枠組みを完成させる。

ABSTRACT

In this article we formulate and prove the main theorems of the theory of character sheaves on unipotent groups over an algebraically closed field of characteristic p>0. In particular, we show that every admissible pair for such a group G gives rise to an L-packet of character sheaves on G, and that, conversely, every L-packet of character sheaves on G arises from a (non-unique) admissible pair. In the appendices we discuss two abstract category theory patterns related to the study of character sheaves. The first appendix sketches a theory of duality for monoidal categories, which generalizes the notion of a rigid monoidal category and is close in spirit to the Grothendieck-Verdier duality theory. In the second one we use a topological field theory approach to define the canonical braided monoidal structure and twist on the equivariant derived category of constructible sheaves on an algebraic group; moreover, we show that this category carries an action of the surface operad. The third appendix proves that the "naive" definition of the equivariant constructible derived category with respect to a unipotent algebraic group is equivalent to the "correct" one.

研究の動機と目的

• 正の特性を持つ体上のルスティグの予想的キャラクターシーブ理論の一貫した基礎を提供すること。
• G-同変導来圏における最小の閉イデムポテンと${\mathbb{L}}$-パケットのキャラクターシーブの間の対応を確立すること。
• すべての${\mathbb{L}}$-パケットが適切なペアから生じることを証明し、この設定において最小の閉イデムポテンと弱イデムポテンが一致することを示すこと。
• 一様群に対して、ナード的（naive）定義と正しい定義の等価性を証明することで、G-同変導来圏における基礎的問題を解決すること。

提案手法

• 理論は、一様群$G$上の可 constructible $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$-複体の$G$-同変導来圏$\mathscr{D}_G(G)$において展開され、畳み込みがモノイダル構造として備わる。
• 主な道具は、閉部分群$G' \subset G$に対してコンパクトな台を持つ誘導ファンクターの構成と、適切なペアを用いた最小の弱イデムポテンの構成である。
• 著者らは、単位写像$\mathbbm{1} \to e$が$e$と畳み込むと同型になることで、最小の閉イデムポテンを定義し、これが最小の弱イデムポテンと一致することを示す。
• トポロジカル量子場理論のアプローチを用いて、$\mathscr{D}_G(G)$に標準的なbraidedモノイダル構造とねじれを定義し、この圏が表面オペラッドの作用を備えることを示す。
• 本稿では、一様群$G$に対して$G$-同変導来圏のナード的定義と標準的・正しい定義が等価であることを証明し、基礎的問題を解決する。
• モノイダル圏の文脈において、グロタンディーク＝ベルデュール双対性の一般化を含む双対性パターンを発展させ、理論を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性を持つ体上の一様群におけるキャラクターシーブを、体系的かつ分類的にどのように構成できるか？
• RQ2 適切なペアと${\mathbb{L}}$-パケットのキャラクターシーブの間の正確な関係は何か？
• RQ3 $\mathscr{D}_G(G)$における最小の閉イデムポテンと最小の弱イデムポテンは一致するか？もしそうならば、これは軌道法則（orbit method）とどのように関係するか？
• RQ4 一様群$G$の場合、$G$-同変導来圏の正しい定義とは何か？また、ナード的定義とはどのように関係するか？
• RQ5 双対性および$\mathscr{D}_G(G)$上のモノイダル構造は、キャラクターシーブ理論をどのように支援するか？

主な発見

• 正の特性$p > 0$の体上の一様群$G$における任意の適切なペアは、$\mathscr{D}_G(G)$における最小の閉イデムポテンを生じさせ、したがって${\mathbb{L}}$-パケットのキャラクターシーブを定義する。
• すべての${\mathbb{L}}$-パケットのキャラクターシーブは（一意的でないが）適切なペアから生じるため、完全な分類が確立される。
• ${\mathbb{L}}$-パケットは有限であり、同じパケットに属するキャラクターシーブ$M$と$N$に対して、すべての$i > 0$について$\operatorname{Ext}^i(M,N) = 0$が成り立つ。これは半単純性を示唆する。
• 最小の閉イデムポテン$e$によって定義される${\mathbb{L}}$-パケットに属する$M$と$N$に対して、$M * N$は整数$n_e$によるコホモロジー的シフトを除いて perverse である。
• 異なる${\mathbb{L}}$-パケットに属する$M$と$N$に対しては$M * N = 0$が成り立つ。これは、異なるパケットの間の直交性を示している。
• 一様群$G$に対して、$G$-同変導来圏のナード的定義と正しい定義は等価であり、理論における基礎的問題が解決された。