[論文レビュー] Character varieties of knot complements and branched double-covers via the cord ring

Christopher R. Cornwell|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、絡み目のアーベル的コード環の反映的拡張と、その補空間および分岐二重被覆のトレースフリーなSL(2,C)表現との間の対応を確立し、拡張ランクを用いてメタアーベル的・非メタアーベル的表現を分類する。拡張値が[−2,2]に含まれるという明示的基準を用いることで、このような表現がSU(2)値であるか、非アーベル的SL(2,R)表現を生じるかを特定でき、分岐被覆における基本群の左順序可能性の検出が可能になる。

ABSTRACT

We study the relationship between Ng's abelian cord ring and SL(2,C) characters of the two-fold branched cover $Σ(K)$. Augmentations, and their corresponding rank, play a central role in the relationship. Our study also leads to a correspondence between trace-free SL(2,C) characters of a knot complement and augmentations. Whether the trace-free character is metabelian or not is determined by the rank of the corresponding augmentation. Necessary and sufficient conditions are given on the augmentation for it to correspond to an SU(2) character. This provides an effective tool for finding representations of relevance to singular instanton homology. We also give necessary and sufficient conditions for an augmentation to induce a non-abelian SL(2,R) character of $Σ(K)$ and exploit this to discuss branched covers with left-orderable fundamental group.

研究の動機と目的

• アーベル的コード環の反映的拡張と、絡み目の補空間およびその分岐二重被覆のトレースフリーなSL(2,C)表現との間の対応を確立すること。
• 拡張値の有界性条件を用いて、このような表現がSU(2)に共役可能であるかどうかを特定すること。
• ランク3の実数値拡張が、分岐二重被覆の非アーベル的SL(2,R)表現を生じる条件を同定すること。
• これらの結果を応用し、分岐二重被覆として得られるホモロジー球面における基本群の左順序可能性を検出すること。
• 拡張の計算的列挙を用いて、SU(2)-単純な絡み目（二面体的SU(2)表現のみをもつもの）を分類すること。

提案手法

• Ngのアーベル的コード環を、絡み目の接触ホモロジーの可換商として用い、複素化された準同型を介して分岐二重被覆の表現多様体と結びつける。
• 反映的拡張の概念を導入し、そのランクを定義することで、関連するSL(2,C)表現のメタアーベル的・非メタアーベル的性質を分類する。
• 定理5.1（対応定理）を適用し、ランク2およびランク3の反映的拡張が、絡み目の補空間における既約なメタアーベル的およびトレースフリーな非メタアーベル的表現に対応することを示す。
• コード代数から導かれる方程式系を数値的および代数的に解くことで、実数値の拡張を計算する。
• オイラー類の条件と表現論を用いて、SL(2,R)表現がπ₁(Σ(K))に左不変順序を誘導する条件を特定する。
• 10交差以下の小さな絡み目の拡張の計算的表を用いて理論的結果を検証し、SU(2)-単純性を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク3の反映的拡張が、絡み目の補空間のSU(2)表現に対応するのはいつか？
• RQ2 反映的拡張の値にどのような条件が満たされると、関連するSL(2,C)表現がSU(2)に共役可能になるか？
• RQ3 非楕円的実数値ランク3拡張を用いて、分岐二重被覆の非アーベル的SL(2,R)表現を構成できるか？
• RQ4 非楕円的実数値拡張が、分岐二重被覆における基本群の左順序可能性をもたらす条件は何か？
• RQ5 どの絡み目がSU(2)-単純か、すなわち二面体的SU(2)表現のみをもつのか、そしてそれが拡張を用いてどのように検出できるか？

主な発見

• ランク3の反映的拡張が、補空間のトレースフリーで非二面体的SU(2)表現に対応するのは、その$\binom{n}{2} + \binom{n}{3}$個の値がすべて実数直線の区間$[-2, 2]$に含まれるとき、かつそのときに限る。
• このような楕円的拡張をもたない絡み目はSU(2)-単純であり、特に対応する特異インスタントンホモロジーが単純である。この性質は、10交差以下の交代絡み目すべてで確認された。
• 10交差の非交代絡み目においては、すべてが少なくとも1つの非楕円的実数値ランク3拡張をもつことが示され、非二面体的SU(2)表現をもつことが示された。
• 非楕円的実数値ランク3反映的拡張が存在するごとに、$\pi_1(\Sigma(K))$に対して非アーベル的SL(2,R)表現が存在し、オイラー類が0のとき、左順序可能性の研究に利用できる。
• 本稿では、補題6.10および6.11を用いて、無限個の族を生成することで、左順序可能な基本群をもつホモロジー球面の族を構成した。
• アーベル的コード環準同型$\mathfrak{Z}: HC_0^{ab}(K) \otimes \mathbb{C} \to \mathbb{C}[X(\Sigma(K))]$は、$\max \mathfrak{r}^{ab}(K) \leq 3$であるときにかつそのときに限り、同型である。この条件は3ブリッジ絡み目および特定のトーラス絡み目に成り立つ。