[論文レビュー] Characterisation of the class of bell-shaped functions

Mateusz Kwaśnicki, Thomas Simon|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Mathematical functions and polynomials参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、n階微分の符号がちょうどn回入れ替わる滑らかで非負の関数（ベル型関数）の完全な特徴付けを、Pólya頻度関数と絶対単調かつ完全単調となる関数の畳み込みであることを証明することで与える。この結果は、フーリエ変換への正の半平面における解析接続条件と同値であり、無限分解可能性やn → ∞における微分の零点の線形増大といった重要な確率的性質を示唆する。

ABSTRACT

A non-negative function $f$ is said to be 'bell-shaped' if $f$ tends to zero at $\pm \infty$ and the $n$-th derivative of $f$ changes its sign $n$ times for every $n = 0, 1, 2, \ldots$ We provide a complete characterisation of the class of bell-shaped functions: we prove that every bell-shaped function is a convolution of a 'P\'olya frequency function' and an *absolutely monotone-then-completely monotone* function. An equivalent condition in terms of the holomorphic extension of the Fourier transform is also given. As a corollary, various properties of bell-shaped functions follow. In particular, we prove that bell-shaped probability distributions are infinitely divisible, and that the zeroes of the $n$-th derivative of a bell-shaped function grow at a linear rate as $n o \infty$.

研究の動機と目的

• ベル型関数のクラスを、n階微分の符号が正確にn回入れ替わるという性質によって定義し、その完全で厳密な特徴付けを提供すること。
• 長年の未解決問題、特にコンパクトな台を持つ関数に関するSchoenbergの予想および安定分布密度の性質に関する未解決問題を解消すること。
• Pólya頻度関数と単調関数との畳み込みによるベル型関数の明確な表現を確立し、これまでの部分的結果を拡張すること。
• 無限分解可能性といった確率的帰結を導出し、畳み込み根をとった際にもベル型の性質を保つ分布を特徴付けること。

提案手法

• 右半平面上でのフーリエ変換の正則拡張を、中心的な解析的道具として用いる。
• Portの逆公式およびStieltjes関数の理論を応用し、フーリエ変換から元の測度を再構成する。
• 関数ϕ(s)に関するレベル交差条件を導入し、積分表現を用いてベル型関数のクラスをパrameter化する。
• 畳み込み構造の利用：すべてのベル型関数が、Pólya頻度関数と絶対単調かつ完全単調となる関数の畳み込みであることを示す。
• スケーリングされた微分の漸近的解析と部分積分を用いて、積分表現の収束を導出する。
• 文献[6]の技術を応用し、すべての弱ベル型関数が定理1.1のパラメトリック表現を満たすことを証明することで、特徴付けを完全に完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベル型関数の完全な構造的特徴付けは、畳み込みおよび解析的性質を用いてどのように与えられるか？
• RQ2 ベル型関数のクラスは、フーリエ変換と特定の符号および可積分性条件を満たす関数ϕを含むパラメトリック表現によって完全に記述可能か？
• RQ3 すべてのベル型確率分布は無限分解可能であり、かつその畳み込み根もベル型であるか？
• RQ4 ベル型関数のn階微分の零点は、n → ∞の際に漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ5 ウミクジ型関数（一般化）と、指数分布密度と完全単調関数との畳み込みの関係は何か？

主な発見

• すべての弱ベル型関数は、Pólya頻度関数と絶対単調かつ完全単調となる関数の畳み込みとして表現可能である。
• ベル型関数のクラスは、関数ϕがレベル交差および可積分性条件を満たすパラメトリック表現によって完全に特徴付けられる。
• ベル型確率分布は無限分解可能であり、その畳み込み根も弱（または厳密に）ベル型である。
• ベル型関数のn階微分の零点は、n → ∞の際にnに比例して増大する。
• ベル型関数のフーリエ変換は、正の半平面上で零点を持たない正則関数に拡張可能であり、関数ϕ(s)は変換の対数の虚部から回復可能である。
• m次のウミクジ型関数は、m個の指数分布密度と(0, ∞)上での完全単調関数との畳み込みとして特徴付けられる。ベル型の場合の一般化である。