[論文レビュー] Characteristic classes and stability conditions for projective Kleinian orbisurfaces

Bronson Lim, Franco Rota|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ADE特異点をもつ滑らかでないDeligne–Mumford表面（Kleinian軌道表面）の導来カテゴリに対して、軌道表面版のボゴモロフ–ギーゼッカー不等式を導入し、Toënのリーマン–ロッホ定理を用いることで、Bridgeland安定性条件を構成する。主な結果は、複素パラメータwと実数γでパrameter化された安定性条件の族であり、 McKay同型と軌道表面チーサー類を用いて、滑らかな表面とKleinian特異点の両方の構成を統一する。

ABSTRACT

We construct Bridgeland stability conditions on the derived category of smooth quasi-projective Deligne-Mumford surfaces whose coarse moduli spaces have ADE singularities. This unifies the construction for smooth surfaces and Bridgeland's work on Kleinian singularities. The construction hinges on an orbifold version of the Bogomolov-Gieseker inequality for slope semistable sheaves on the stack, and makes use of the To\"en-Hirzebruch-Riemann-Roch theorem.

研究の動機と目的

• 滑らかな表面とKleinian特異点の両方のBridgeland安定性条件を、標準的スタックの導来カテゴリを通じて統一すること。
• 軌道表面チーサー類不変量を用いて、スタック上の勾配半安定な層に対してボゴモロフ–ギーゼッカー不等式を一般化すること。
• 群作用に由来する有理係数を含む軌道表面コホモロジー類を組み込んだ中心的質量を定義すること。
• 中心的質量の核上での軌道表面チーサー類の負定値性を用いて、安定性条件のサポート性を確立すること。
• Kleinian特異点の最小解消を、安定対象のモジュライ空間間の壁交叉写像として実現すること。

提案手法

• 安定化群の既約表現への分解を用いて、層の押し出し写像の残渣ゲイブリの分解に基づく軌道表面チーサー類を定義する。
• McKay同型 Φ: D(S) ≅ Db(Coh( ˜S)) を用いて、軌道表面ディスクリミナント ∆orb(E) を ∆(Φ(E)) として定義する。
• 中心的質量 Zw,γ(E) = −ch2(E) + w ch0(E) + γ·δ(E) + iH·ch1(E) を構成する。ここで δ(E) = ∑ aiTi であり、ai は群Gの既約表現への ι∗E の分解から得られる有理係数である。
• 強化されたボゴモロフ–ギーゼッカー不等式を証明する：S 上の任意の µH-半安定層 E に対して、∆orb(E) ≥ 0 が成り立つ。
• Zw,γ の核上での ∆orb の負定値性を用いて、安定性条件のサポート性を検証する。
• Bridgelandの変形定理を用いて、スクリャッパー層上で実部が負である中心的質量の近傍に安定性条件を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A型特異点をもつ射影的軌道表面の導来カテゴリに対して、滑らかな表面とKleinian特異点の両方のBridgeland安定性条件を統一的に構成できるか？
• RQ2 特にスタック上の勾配半安定層に対して、ボゴモロフ–ギーゼッカー不等式を軌道表面設定に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ3 軌道表面チーサー類とToënのリーマン–ロッホ定理は、安定性と整合する中心的質量を定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 安定性条件間の壁交叉は、どのようにKleinian特異点の最小解消をモジュライ空間写像として実現するか？
• RQ5 スタック上の安定性条件とMcKay対応におけるクーヴィー安定性との関係は何か？

主な発見

• 本稿は、ADE特異点をもつ射影的表面の標準的スタック S の導来カテゴリに、パラメータ w ∈ C および γ ∈ (0, 1/(N−1)) を満たす複素数 w と実数 γ に対して、安定性条件の族 (Zw,γ, Coh−Im w(S)) を構成する。この族は、2つの実部不等式を満たす限り有効である。
• すべての µH-半安定層 E に対して、軌道表面ディスクリミナント ∆orb(E) は非負であり、古典的ボゴモロフ–ギーゼッカー不等式が軌道表面設定に一般化されたことを示している。
• 中心的質量 Zw,γ は、δ(E) = ∑ aiTi を通じて軌道表面コホモロジーを組み込んでいる。ここで ai は、ι∗E を安定化群の既約表現に分解した際の係数である。
• クラス [Ox] の σ∗-半安定対象のモジュライ空間 Mσ∗([Ox]) は、粗いモジュライ空間 S に同型であり、Mσ0([Ox]) は最小解消 ˜S に同型である。
• 壁交叉写像 Mσ0([Ox]) → Mσ∗([Ox]) は、正確に最小解消写像であり、例外的除集合の収縮として解消が実現される。
• 安定性条件 σ0 はクーヴィー表現理論における一般の安定パラメータに対応し、[7]におけるWeylチャネル構造と整合する。