[論文レビュー] Characterization of the Radon-Nikodym Property in terms of inverse limits

Jeff Cheeger, Bruce Kleiner|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、可分なバナッハ空間が、1-Lipschitz写像を伴う有限次元バナッハ空間の逆極限による決定的性質を備えることと、Radon-Nikodym性質（RNP）を有することの同値性を確立している。主な貢献は、双対性および逆極限構造を用いて、決定的性質が漸近的ノルム化性質（ANP）と同値であり、したがってRNPと同値であることを証明することにある。この結果は、RNPを有する測度空間における微分可能性定理への応用を含む。

ABSTRACT

We clarify the relation between inverse systems, the Radon-Nikodym property, the Asymptotic Norming Property of James-Ho, and the GFDA spaces introduced in our earlier paper on differentiability of Lipschitz maps into Banach spaces.

研究の動機と目的

• 逆系、Radon-Nikodym性質（RNP）、漸近的ノルム化性質（ANP）の間の関係を明確化すること。
• 可分なバナッハ空間において、逆極限における決定的性質がANPと同値であり、したがってRNPと同値であることを示すこと。
• GFDA空間（良い有限次元近似）が、ちょうど可分な双対空間に同型であるものであることを確立すること。
• PI空間からRNPを有する空間へのリプシッツ写像の微分可能性定理および非埋め込み定理を、GFDAの対象に限らず、RNPを有する任意の対象へと拡張すること。

提案手法

• 1-Lipschitz線形写像を伴う有限次元バナッハ空間の列からなる標準的逆系を定義する。
• 決定的性質を導入：逆極限の部分空間Vが、各有限次元射影において収束する有界列で、一様ノルム収束を満たすならば、強収束するものとする。
• 標準的逆系の逆極限が、可分なバナッハ空間の双対と等長同型であることを証明する。
• 直接的な位相的およびノルム近似の議論により、決定的性質と漸近的ノルム化性質（ANP）の同値性を確立する。
• Kadec-Kleeのノルム再定義補題を用いて、任意の可分な双対空間がGFDAを備え、したがって決定的性質を有する空間に同型であることを示す。
• この同値性を応用し、[CK06]におけるPI空間に関する結果を、GFDAの対象に限らず、RNPを有する任意の対象へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分なバナッハ空間において、逆極限における決定的性質は、漸近的ノルム化性質（ANP）と同値か？
• RQ2 1-Lipschitz写像を伴う有限次元バナッハ空間の逆極限によって、Radon-Nikodym性質を特徴付けられるか？
• RQ3 GFDA空間は、ちょうど可分な双対空間に同型であるか？
• RQ4 PI空間からRNPを有する空間へのリプシッツ写像の微分可能性定理は、GFDAの対象に限らず拡張可能か？
• RQ5 逆極限枠組みを用いて、さまざまなバナッハ空間の性質と関連するRNPの特徴付けを統一できるか？

主な発見

• 可分なバナッハ空間がRadon-Nikodym性質を有することは、ある標準的逆系の逆極限に関して決定的性質を有することと同値である。
• 可分なバナッハ空間において、決定的性質は漸近的ノルム化性質（ANP）と同値であり、したがってRNPと同値である。
• 標準的逆系の逆極限は、可分なバナッハ空間の双対と等長同型である。
• バナッハ空間がGFDAを備えることは、ちょうど可分な双対空間に同型であることと同値である。
• PI空間からの写像における微分可能性および双リプシッツ非埋め込み定理は、GFDAの対象に限らず、RNPを有する任意の対象に対して成り立つ。
• 逆極限によるANPとRNPの同値性は、RNP空間へのリプシッツ写像のほとんど everywhere での微分可能性を示す、新たな初等的証明を提供する。