[論文レビュー] Characterization of threshold functions: state of the art, some new contributions and open problems

Josep Freixas, Marc Freixas+1 more|EPub Bayreuth (University of Bayreuth)|Mar 1, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 57被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、重み付きクオーラムで表現可能な単調な投票制度である重み付きゲームを、トレード耐性および不変トレード耐性を用いて統一的に特徴づけることで、閾値論理と単純ゲーム理論を統合する。2-不変トレード耐性が、同値な有権者タイプが1つまたは2つの完全ゲームにおける重み付き性を完全に特徴づけることを証明し、2-トレード耐性ではあるが3-トレード耐性でないパラメトリックなゲーム族を提示し、3-トレード耐性が3つの有権者タイプまたは2つのシフト最小勝利コалиションタイプをもつゲームにおいて重み付き性を示すかという予想を提示する。

ABSTRACT

This paper has a twofold scope. The first one is to clarify and put in evidence the isomorphic character of two theories developed in quite different fields: on one side, threshold logic, on the other side, simple games. One of the main purposes in both theories is to determine when a simple game is representable as a weighted game, which allows a very compact and easily comprehensible representation. Deep results were found in threshold logic in the sixties and seventies for this problem. However, game theory has taken the lead and some new results have been obtained for the problem in the last two decades. The second and main goal of this paper is to provide some new results on this problem and propose several open questions and conjectures for future research. The results we obtain depend on two significant parameters of the game: the number of types of equivalent players and the number of types of shift-minimal winning coalitions.

研究の動機と目的

• 重み付きゲームの同型的取り扱いを明確にすることで、閾値論理と単純ゲーム理論を統合すること。
• トレード耐性および不変トレード耐性を用いた重み付きゲームの新たな特徴づけ結果を提供すること。
• 重み付き性の意思決定問題を簡略化する構造的パラメータ（有権者タイプ数およびシフト最小勝利コアリションタイプ数）を同定すること。
• k-トレード耐性ではあるが(k+1)-トレード耐性でない非重み付きゲームの明示的族を構成し、トレード耐性が特徴づけツールとして有効な限界を強調すること。
• 今後の研究のための未解決問題および予想を提示すること、特に、トレード耐性レベルが重み付き性を保証するのに十分であるかについて。

提案手法

• 完全単純ゲームにおける重み付き性の意思決定基準として、トレード耐性および不変トレード耐性を用いる。
• 分離超平面および一次不等式系を解析するための幾何学的・代数的技法を適用する。
• 有権者およびコアリションタイプ数に基づくパラメトリックなゲーム構成を用い、制御されたトレード耐性レベルを持つ例を生成する。
• 生成関数を導出し、特定のパrameterセットに対して、その数がΘ(n³)の漸近的増加を示す。
• n=20まで全列挙を実施し、トレード耐性と重み付き性に関する予想を検証する。
• 特に非可加性および線形分離可能性を含む、閾値論理からの結果をゲーム理論的枠組みに適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有権者タイプ数tが何の値をとるとき、すべてのk≥2に対してk-トレード耐性ではあるが(k+1)-トレード耐性でない完全単純ゲームの系列が存在するか？
• RQ2 シフト最小勝利コアリションタイプ数rが何の値をとるとき、同様の系列が存在するか？
• RQ3 有権者タイプ数t=3またはシフト最小勝利コアリションタイプ数r=2をもつ完全単純ゲームにおいて、3-トレード耐性は重み付き性を示すか？
• RQ4 ある有限なm≥3に対してm-トレード耐性が、完全単純ゲームにおける重み付き性を保証できるか？
• RQ5 有権者タイプ数t=3およびシフト最小勝利コアリションタイプ数r=2をもつすべての2-トレード耐性だが3-トレード耐性でない完全単純ゲームは、補題8.3で構成されたパラメトリック族と同型であるか？

主な発見

• 同値な有権者タイプが1つまたは2つの完全単純ゲームのクラスは、2-不変トレード耐性によって完全に特徴づけられる。これは重み付き性の必要十分条件である。
• 11人の有権者およびパラメータk₁,k₂,k₃,l∈ℕをもつ、2-トレード耐性ではあるが3-トレード耐性でないパラメトリックなゲーム族が構成され、その漸近的数え上げはΘ(n³)である。
• この族の生成関数はx¹¹(x−2)/[(1−x)³(1−x⁴)]であり、非重み付きゲームの数が立方的に増加することを確認する。
• 補題8.3のパラメトリック族に基づく、n=20まで全列挙を実施した結果、予想8.4が検証された：t=3およびr=2をもつすべての3-トレード耐性ゲームは重み付きであり、非重み付きな2-トレード耐性ゲームは補題8.3の族に限られる。
• トレード耐性と不変トレード耐性は補完的である：トレード耐性はrが小さい場合に有効であり、不変トレード耐性はtが小さい場合に有効である。
• r=2またはt=3をもつ3-トレード耐性だが非重み付きなゲームの例は、既知のものとして存在しない。これは、そのようなゲームが存在しない可能性を示唆するが、未だ未解決のままである。