[論文レビュー] Characterizing Entanglement via Uncertainty Relations

Otfried Gühne|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 28被引用数 300

ひとこと要約

本稿では、任意の可観測量に関する分散不等式に基づくエンタングルメント基準の族を導入し、すべての純粋な二粒子エンタングル状態、非拡張可能な積状態基底（UPB）から構成される特定の束縛エンタングル状態、およびマルチパーティエンタングル状態がこれらの不等式を破ることを示している。この手法は共分散行列基準と等価であり、連続変数系における分離可能性基準を有限次元系へと移行可能である。

ABSTRACT

We derive a family of necessary separability criteria for finite-dimensional systems based on inequalities for variances of observables. We show that every pure bipartite entangled state violates some of these inequalities. Furthermore, a family of bound entangled states and true multipartite entangled states can be detected. The inequalities also allow to distinguish between different classes of true tripartite entanglement for qubits. We formulate an equivalent criterion in terms of covariance matrices. This allows us to apply criteria known from the regime of continuous variables to finite-dimensional systems.

研究の動機と目的

• 有限次元量子系におけるエンタングルメントを検出可能な一般化された、可観測量に基づく不確定性関係の開発。
• 既存の局所不確定性関係（LUR）を越えて、束縛エンタングルメントおよびマルチパーティエンタングルメントを検出可能な基準の拡張。
• 分散基準と共分散行列条件との間の同等性を確立し、有限次元系と連続変数系におけるエンタングルメント検出を結びつける。
• 分散不等式を用いて、キュービット系における真のマルチパーティエンタングルメントの異なるクラスを区別する。
• 全状態トモグラフィーを用いずに、局所的測定による分散のみを用いてエンタングルメントを系統的に検出するフレームワークの構築。

提案手法

• 混合状態上での可観測量の分散の和が、積状態上での分散の凸結合によって下から抑えられることを示す一般不等式（補題1）を導出する。
• この不等式の破れをエンタングルメントの十分条件とする。ここで可観測量 Mi は、状態の直交補空間におけるエンタングル状態基底への射影演算子として選ばれる。
• 2キュービットベル状態に対して、特定の可観測量 Mi を構成し、エンタングル状態では分散の和が0に等しくなるが、すべての積状態では 2a²b² 以上に下限づけられることを示す。
• 状態の核空間におけるエンタングル状態基底への射影演算子 Mi を定義することで、マルチパーティ系へと手法を一般化し、真のマルチパーティエンタングルメントの検出を可能にする。
• 共分散行列（CM）を用いた同等の基準を定式化し、分散不等式が、分離状態に対して γ(ρ, Mi) ≥ κA ⊕ κB を満たすことに等価であることを示す。
• 連続変数系におけるガウス状態の既知の分離可能性基準を、CMの定式化を介して有限次元系へ写像することで活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散に基づく不確定性関係は、すべての純粋な二粒子エンタングル状態を検出可能か？
• RQ2 このような基準は、非拡張可能な積状態基底（UPB）から構成される束縛エンタングル状態を検出可能か？
• RQ3 この手法は、キュービット系における真のマルチパーティエンタングルメントの異なるクラスを区別可能か？
• RQ4 連続変数系におけるエンタングルメント基準（共分散行列に基づく）を有限次元系へ系統的に写像する方法は存在するか？
• RQ5 いかなる分散に基づく不確定性関係も破られないエンタングル状態は存在するか？

主な発見

• 適切に選ばれた可観測量 Mi に対して、すべての純粋な二粒子エンタングル状態が分散不等式を破ることを示した。エンタングル状態では分散の和が0に等しくなるが、すべての積状態では0から離れている。
• 非拡張可能な積状態基底（UPB）から構成される束縛エンタングル状態も分散不等式を破り、局所的測定による分散の測定で検出可能である。
• 2キュービットベル状態 |ψ₁⟩ = a|00⟩ + b|11⟩ に対して、分散の和 ∑ᵢ δ²(Mᵢ) はエンタングル状態では0に等しくなるが、すべての積状態では 2a²b² 以上に下限づけられる。
• ρ(p) = p|ψ₁⟩⟨ψ₁| + (1−p)/4 の形をした混合状態が、p ≥ √(1 − 8a²b²/3) の範囲で検出可能であり、ノイズに強く、ロバストであることが示された。
• 分散基準は共分散行列（CM）基準と等価である：分離状態に対しては、可観測量のCMが γ(ρ, Mi) ≥ κA ⊕ κB を満たす。ここで κA と κB は、局所状態のCMの凸結合である。
• CMの定式化により、既知のガウス状態の分離可能性基準（例：WernerとWolf, 2001）を有限次元系へ直接適用可能となり、CM不等式を用いて p ≥ 1/√3 の範囲でWerner状態を検出可能となった。