[論文レビュー] Characters of coinvariants in (1,p) logarithmic models

Boris Feigin, I. Yu. Tipunin|ArXiv.org|May 27, 2008

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ひとこと要約

本稿は、中心指数 $ c = 13 - 6p - 6/p $ を持つ非半単純な対数的拡張である $ \mathcal{A}(p) $ 代数に基づく (1,p) 対数的 conformal field theory モデルにおいて、フェルミオン的特徴関数を、$ \mathcal{A}(p) $ 代数、特に $ SL(2) $ 対称性を持つ Virasoro 代数の「ガロア拡張」として得る。誘導加群とアーベル化技術を用いて、射影的加群の融合多重度を符号化するコインバリアントの特徴関数を計算し、$ q $-アナロジーの二項係数を用いた完全な有限化特徴関数の記述を提供する。

ABSTRACT

We investigate induced modules of doublet algebra in (1,p) logarithmic models. We give fermionic formulas for the characters of induced modules and coinvariants with respect to different subalgebras calculated in the irreducible modules. The characters of coinvariants give multiplicities of projective modules in fusion of induced modules.

研究の動機と目的

• 誘導加群と $ \mathcal{A}(p) $ 代数におけるコインバリアントを研究すること。ここで $ \mathcal{A}(p) $ は中心指数 $ c = 13 - 6p - 6/p $ を持つ非半単純な対数的拡張である。
• 誘導加群のコインバリアントのフェルミオン的特徴関数を導出すること。これにより、表現カテゴリにおける射影的加群の融合多重度が符号化される。
• $ \mathcal{A}(p) $ の表現理論と、誘導加群の自己準同型代数を介して量子群カテゴリとの関係を確立すること。
• 射影的極限を用いた誘導加群の系列を通じて、完全なチャーラル-アンチチャーラル conformal field theory の再構成を提案すること。

提案手法

• $ \mathcal{A}(p)[\mathbf{u}]^+ $ と呼ばれる部分代数の自明な表現から誘導加群 $ \mathscr{M}_{\mathbf{u}} $ を構成し、指定された conformal 次元を持つカレントの負モードによって生成される。
• アーベル化技術を適用して、$ q $-アナロジーの二項係数を用いたコインバリアントの特徴関数を計算し、フェルミオン的公式に至る。
• $ D = L_0 - d $ 演算子を用いて誘導加群に重み付きの位相を定義し、重み空間分解を用いた特徴関数計算を可能にする。
• フロベニウス双対性を用いて、コインバリアントと融合カテゴリ内の Hom-空間を関係づけ、融合積の再帰的構成を可能にする。
• $ s $ と $ \mathbf{m} $ の異なる値に対して、$ q $-二項係数と $ q $-整数を含む明示的な特徴関数公式 $ \hat{K}^{(p)}_{s,\mathbf{m}}(q,z) $ を導出する。
• $ \mathscr{M}_{\mathbf{u}} $ の射影的極限として得られる正則双加群 $ \mathbb{P} $ を構成し、これにより完全なチャーラル-アンチチャーラル CFT 構造が符号化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導加群のコインバリアントに対して、$ \mathcal{A}(p) $ 代数においてフェルミオン的特徴関数をどのように導出できるか。
• RQ2 自己準同型代数 $ \mathrm{End}(\mathscr{M}_{\mathbf{u}}) $ の構造は何か。また、これは量子群カテゴリとどのように関係するか。
• RQ3 コインバリアントの特徴関数は、(1,p) 対数的モデルにおける射影的加群の融合多重度をどのように符号化するか。
• RQ4 射影的極限を用いた $ \mathcal{A}(p) $-加群のテンソルカテゴリから、完全なチャーラル-アンチチャーラル conformal field theory を再構成できるか。
• RQ5 $ L_0 $-作用はテンソル積の多重度空間において果たす役割は何か。また、これはテンソルカテゴリのデータをどのように精緻化するか。

主な発見

• フェルミオン的特徴関数は $ q $-アナロジーの二項係数を用いて導出され、$ s < p $ および $ s = p $ の場合に明示的な式 $ \hat{K}^{(p)}_{s,\mathbf{m}}(q,z) $ で与えられる。
• $ s < p $ の場合、特徴関数 $ \hat{K}^{(p)}_{s,\mathbf{m}}(q,z) $ は $ j $ の和として表され、$ q $-二項係数と $ q $-整数を含み、多重度構造を反映している。
• $ s = p $ の場合、特徴関数 $ \hat{K}^{(p)}_{p,\mathbf{m}}(q,z) $ は $ \mathbf{m} - \mathbf{e}_p $ の $ q $-二項係数の和として与えられ、射影的カテゴリにおける融合規則が符号化されている。
• コインバリアントの特徴関数は、誘導加群の融合における射影的加群の多重度を直接与え、非可約 $ W $-加群の特徴関数の完全な有限化記述を提供する。
• 正則双加群 $ \mathbb{P} $ は、$ \mathscr{M}_{\mathbf{u}} $ の射影的極限として構成され、$ \mathcal{A}(p) $-加群のカテゴリにおける恒等関手を表す。その特徴関数は式 (5.81) で記述される。
• $ L_0 $ が多重度空間に作用することは、テンソルカテゴリのデータを超えた追加のデータとして特定され、カテゴリ的データからチャーラル conformal field theory を再構成する上で不可欠である。