[論文レビュー] Charting the Tractability Frontier of Certain Conjunctive Query Answering

Jef Wijsen|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Data Management and Algorithms参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無作為なデータベースにおける特定の結合的クエリの答えの取り扱いの可能性の境界を、非巡回ブール結合的クエリから導出される攻撃グラフの構造を分析することによって明確に確立する。攻撃グラフに強いサイクルを含む場合、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ は coNP完全であると証明され、強いサイクルがなく、すべての弱いサイクルが端末的である場合にはPに属する。残りのケース—強いサイクルがなく、弱いサイクルが非端末的である場合—はまだ部分的に未解決であり、確率的クエリ評価の複雑さに影響を及ぼす。

ABSTRACT

An uncertain database is defined as a relational database in which primary keys need not be satisfied. A repair (or possible world) of such database is obtained by selecting a maximal number of tuples without ever selecting two distinct tuples with the same primary key value. For a Boolean query q, the decision problem CERTAINTY(q) takes as input an uncertain database db and asks whether q is satisfied by every repair of db. Our main focus is on acyclic Boolean conjunctive queries without self-join. Previous work has introduced the notion of (directed) attack graph of such queries, and has proved that CERTAINTY(q) is first-order expressible if and only if the attack graph of q is acyclic. The current paper investigates the boundary between tractability and intractability of CERTAINTY(q). We first classify cycles in attack graphs as either weak or strong, and then prove among others the following. If the attack graph of a query q contains a strong cycle, then CERTAINTY(q) is coNP-complete. If the attack graph of q contains no strong cycle and every weak cycle of it is terminal (i.e., no edge leads from a vertex in the cycle to a vertex outside the cycle), then CERTAINTY(q) is in P. We then partially address the only remaining open case, i.e., when the attack graph contains some nonterminal cycle and no strong cycle. Finally, we establish a relationship between the complexities of CERTAINTY(q) and evaluating q on probabilistic databases.

研究の動機と目的

• 非自己結合を含まない非巡回ブール結合的クエリにおける ${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の取り扱いの可能性（P）と非可能性（coNP完全）の境界を特定すること。
• 攻撃グラフ内のサイクルを弱いものと強いものに分類し、それらがクエリの複雑さに与える影響を分析すること。
• 攻撃グラフに非端末的弱いサイクルを含み、強いサイクルを含まないクエリの ${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の複雑さを解明すること、これは以前に未解決であったケースである。
• ${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の複雑さと、ブロック独立分散（BID）データベースにおける確率的クエリ評価の複雑さとの関係を明確にすること。

提案手法

• 本稿は、非巡回ブール結合的クエリに対して、頂点がクエリの原子を表し、辺がタプル間のキーの衝突を表す有向攻撃グラフを導入する。
• クエリの主キー依存関係における構造的制約に基づき、攻撃グラフ内のサイクルを弱いものと強いものに分類する。
• 特に端末的および非端末的サイクルに注目して、到達可能性およびサイクル構造を分析するためのグラフ理論的技術を適用する。
• 強いサイクルが存在する場合にcoNP完全性を証明するために還元を用い、強いサイクルがなく、すべての弱いサイクルが端末的である場合に多項式時間アルゴリズムを構築する。
• 先行研究における一階論理表現可能性および確率的クエリ複雑さの結果を活用し、未解決ケースを文脈づける。
• 残りの未解決ケース—強いサイクルがなく、非端末的弱いサイクルを含む—がP-coNP二分法を定義すると推測するが、完全な証明はまだ得られていない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回結合的クエリにおいて、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ がいつcoNP完全になるか。
• RQ2 攻撃グラフのどの構造的条件のもとで、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ は取り扱い可能（すなわちPに属する）となるか。
• RQ3 攻撃グラフに非端末的弱いサイクルを含み、強いサイクルを含まない場合、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の複雑さは何か。
• RQ4 ${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の複雑さは、BIDデータベースにおける確率的クエリ評価の複雑さとどのように関係するか。

主な発見

• 非巡回クエリ $q$ の攻撃グラフに強いサイクルが含まれる場合、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ はcoNP完全である。
• 攻撃グラフに強いサイクルがなく、すべての弱いサイクルが端末的である場合、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ はPに属する。
• 残りの未解決ケースは、強いサイクルがなく、非端末的弱いサイクルを含む攻撃グラフを持つ場合であり、この場合の ${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の複雑さはまだ完全には解明されていない。
• この未解決ケースのクエリにおいて、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ は一階論理で表現可能でないため、${\mathsf{PROBABILITY}}({q})$ は $\natural$P-hard であることが示唆される。
• 結果から、${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ の取り扱いの可能性の境界は、確率的クエリ評価のそれよりも複雑であることが示唆され、制限された状況でも高度な多項式時間アルゴリズムが必要となる。
• 本稿は、非巡回クエリにおける ${\mathsf{CERTAINTY}}({q})$ のクラスが有効なP-coNP二分法を示すと推測するが、これを証明することは依然として大きな課題である。