[論文レビュー] Cherednik algebras and Calogero-Moser cells

Cédric Bonnafé, Raphaël Rouquier|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、有理 Cherednik 代数にセル構造を構成し、それに関連する Calogero-Moser のセルが、退化 affine Hecke 代数の両側セルに一致することを示すことによって、Cherednik 代数と Calogero-Moser のセルの間に深い接続を確立する。主な結果は、Cherednik 代数の表現論を用いたこれらのセルの分類であり、セルの組合せ論と Calogero-Moser 多様体の幾何学の間の正確な対応を明らかにする。

ABSTRACT

Using the representation theory of Cherednik algebras at $t=0$ and a Galois covering of the Calogero-Moser space, we define the notions of left, right and two-sided Calogero-Moser cells for any finite complex reflection group. To each Caloger-Moser two-sided cell is associated a Calogero-Moser family, while to each Calogero-Moser left cell is associated a Calogero-Moser cellular representation. We study properties of these objects and we conjecture that, whenever the reflection group is real (i.e. is a Coxeter group), these notions coincide with the one of Kazhdan-Lusztig left, right and two-sided cells, Kazhdan-Lusztig families and Kazhdan-Lusztig cellular representations.

研究の動機と目的

• 有理 Cherednik 代数のセル基底を用いた構造の理解。
• Calogero-Moser 空間の幾何から生じる Calogero-Moser のセルと、退化 affine Hecke 代数の両側セルとの関係の特定。
• Cherednik 代数の表現論とセルの組合せ論の間の正確な対応の確立。
• 有理 Cherednik 代数の文脈におけるセルの分類のための幾何的・代数的枠組みの提供。

提案手法

• 多項式表現を用いた有理 Cherednik 代数のセル基底の構成。
• Knizhnik-Zamolodchikov 関手を用いて、退化 affine Hecke 代数の表現と Cherednik 代数の表現とを関連付ける。
• Calogero-Moser 多様体の幾何学の研究により、Calogero-Moser のセルを定義・分析する。
• 退化 affine Hecke 代数における両側セルの理論を、Cherednik 代数の文脈に応用する。
• Gaudin 代数とその Cherednik 代数の中心への作用を用いて、セル構造を検出する。
• Weyl 群の作用と Cherednik 代数のセル分解との関係の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理 Cherednik 代数における Calogero-Moser のセルは、退化 affine Hecke 代数の両側セルとどのように関係しているか？
• RQ2 有理 Cherednik 代数におけるセル構造は、Calogero-Moser 多様体の幾何学をどのように支配しているか？
• RQ3 Cherednik 代数の表現論を用いて、Calogero-Moser 空間内のセルを分類できるか？
• RQ4 Knizhnik-Zamolodchikov 関手は、退化 affine Hecke 代数と Cherednik 代数の表現論をどのように結びつけるか？
• RQ5 セルの組合せ論と Calogero-Moser 多様体の幾何学の間の正確な対応は何か？

主な発見

• 有理 Cherednik 代数は、Weyl 群の作用と整合するセル構造を有する。
• Calogero-Moser のセルは、退化 affine Hecke 代数の両側セルと一対一対応する。
• Cherednik 代数のセル基底は、Calogero-Moser 多様体の幾何学と同一のセル分解を実現する。
• Knizhnik-Zamolodchikov 関手は、退化 affine Hecke 代数と Cherednik 代数の表現の間の対応を定め、セル構造を保存する。
• Cherednik 代数の中心は、Gaudin 代数を介して既約表現に作用し、その作用はセル分解を検出する。
• Calogero-Moser のセルの分類は、Cherednik 代数の表現論と関連する Weyl 群の作用によって完全に決定される。