[論文レビュー] Cherednik algebras for algebraic curves

Michael Finkelberg, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Apr 26, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、量子ハミルトニアン還元を用いて代数曲線に対するグローバル・チェレドニク代数を構成し、Quotスキームの積上のキャラクターDモジュールからチェレドニク代数のOカテゴリへのファンクターを確立する。主な結果は、球面型三角関数的チェレドニク代数の有限次元的不可約モジュールと、特異的補間が零尖である単純なキャラクターDモジュールとの一対一対応を示し、Lusztigのキャラクター層をグローバルな幾何的設定に一般化する。

ABSTRACT

For any smooth algebraic curve C, Pavel Etingof introduced a `global' Cherednik algebra as a natural deformation of the cross product of the algebra of differential operators on C^n and the symmetric group. We provide a construction of the global Cherednik algebra in terms of quantumn Hamiltonian reduction. We study a category of character D-modules on a representation scheme associated to C and define a Hamiltonian reduction functor from that category to category O for the global Cherednik algebra. In the special case where the curve C is the multiplicative group, the global Cherednik algebra reduces to the trigonometric Cherednik algebra of type A, and our character D-modules become holonomic D-modules on GL_n imes C^n. The corresponding perverse sheaves are reminiscent of (and include as special cases) Lusztig's character sheaves.

研究の動機と目的

• 代数曲線に関連するグローバル・チェレドニク代数の量子ハミルトニアン還元による構成を提供すること。
• 特異的補間が零尖であるQuotスキームの積上のキャラクターDモジュールを定義・研究し、Lusztigのキャラクター層を一般化すること。
• 球面型三角関数的チェレドニク代数の有限次元的不可約モジュールと、$\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上の単純なキャラクターDモジュールとの対応関係を確立すること。
• 代数曲線と表現スキームを用いて、キャラクター層の理論をグローバルな設定に拡張すること。

提案手法

• グローバル・チェレドニク代数 $\mathsf{H}_{\kappa,\psi}$ は、$\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上のねじれ微分作用素の層の量子ハミルトニアン還元として構成される。
• ハミルトニアン還元ファンクター $\mathbb{H}$ が、$\mathscr{D}_{n\kappa,\psi}(\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1})$-モジュールの圏から $\mathsf{H}_{\kappa,\psi}$-モジュールの圏へのファンクターとして定義される。
• キャラクターDモジュールは、$\mathbb{M}_{\text{nil}} \subset T^*(\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1})$ に含まれるグローバルな零尖ラグランジュ部分多様体における特異的補間を持つ $\mathscr{D}$-モジュールとして定義される。
• 有限個の軌道しか持たない $GL_n$ の $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ への作用を用いて、モノドロミーと特異的補間を分析する。
• モジュール間の対応関係は、リーマン＝ヒルベルト対応および $GL_n$-軌道上の局所系統の最小拡張の性質を用いて確立される。
• 証明は、唯一の開軌道 $\mathbb{O}_0$ の基本群が $\mathbb{Z}$ であること、およびモノドロミー条件が不可約性を保証することに依拠している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数曲線に対するグローバル・チェレドニク代数を、量子ハミルトニアン還元を用いてどのように構成できるか？
• RQ2 $\operatorname{rep}^n_C \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上の特異的補間が零尖であるキャラクターDモジュールの幾何学的・表現論的意味は何か？
• RQ3 これらのキャラクターDモジュールは、球面型三角関数的チェレドニク代数の有限次元的表現とどのように関係するか？
• RQ4 これらのモジュールは、グローバルな幾何的設定においてLusztigのキャラクター層をどの程度一般化するか？
• RQ5 ハミルトニアン還元ファンクターが有限次元的モジュールをもたらすための条件は何か？

主な発見

• 球面型チェレドニク代数 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$ は、$SL_n \times \mathbb{P}^{n-1}$ 上のキャラクターDモジュールにハミルトニアン還元ファンクターを適用した像として実現される。
• 有限次元的不可約 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$-モジュールは、ちょうど $n \mid (c - p)$ かつ $c$ と $n$ が互いに素である形の $z \mathcal{L}_{p,c}$ という単純なキャラクター $\mathscr{D}$-モジュールに対応する。
• キャラクター $\mathscr{D}$-モジュールの特異的補間は、$\mathfrak{gl}_n \times \mathbb{C}^n$ の零尖コーンに $GL_n$-作用を施して得られるラグランジュ部分多様体 $\mathbb{M}_{\text{nil}}$ に含まれる。
• $GL_n$-モノドロミック局所系統の最小拡張が、$\mathbb{O}_0 \subset SL_n \times V^\circ$ 上でキャラクター $\mathscr{D}$-モジュールであるための必要十分条件は、モノドロミーが原始的 $n$ 乗根であることである。
• ハミルトニアン還元ファンクター $\mathbb{H}$ は完全であり、$\kappa = c/n$ のとき、有限次元的不可約 $\mathsf{e} \mathsf{H}_{\kappa}^\text{trig}(SL_n) \mathsf{e}$-モジュールと、$n \mid (c - p)$ かつ $\gcd(c,n) = 1$ を満たす単純なキャラクター $\mathscr{D}$-モジュールとの一対一対応を誘導する。
• この対応関係はリーマン＝ヒルベルト対応と整合的であり、キャラクター $\mathscr{D}$-モジュールに対応する perverse sheaf は、$GL_n$-対角軌道に沿って局所定数であり、特徴的特徴多様体が零尖である。